导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
5.运用洛必达和导数解自编题 * 12月20日 导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 ――高考专项研究 第一部分:历届导数高考压轴题 1.2006年全国2理 2.2006全国1理 3.2007全国1理 4.2008全国2理 5.2008辽宁理 6.2010新课标理 7.2010新课标文 8.2010全国大纲理 9.2011新课标理 10.自编 第二部分:泰勒展开式 泰勒展开式 泰勒展开式 第三部分:新课标高考命题趋势及方法 1. 新课标高考命题趋势 2.分类讨论和假设反证 3.洛必达法则 第四部分:洛必达法则及其解法 1.洛必达法则 2.2011新课标理的常规解法 2.2011新课标理的常规解法 2.2011新课标理的常规解法 3.运用洛必达和导数解2011年新课标理 3.运用洛必达和导数解2011年新课标理 3.运用洛必达和导数解2011年新课标理 4.运用洛必达和导数解2010新课标理 4.运用洛必达和导数解2010新课标理 4.运用洛必达和导数解2010新课标理 5.运用洛必达和导数解自编题 * 已知函数，曲线在点处的切线方程为(?)求、的值;
(?)如果当，且时，，求的取值范围设函数f x , x，1 ln x，1 ，若对所有的x?0，都有f x ?ax成立，求实数a的取值范围(
已知函数(?)设，讨论的单调性;
(?)若对任意恒有，求的取值范围注:分三种情况讨论:?;?;?不易想到.尤其是?时，许多考生都停留在此层面，更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.
设函数(
(?)证明:的导数;
(?)若对所有都有，求的取值范围(设函数(
(?)求的单调区间;
(?)如果对任何，都有，求的取值范围(虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.
设函数.
?求的单调区间和极值;
?是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.由洛必达法则有
，
即当时，
所以，即有.
综上所述，当，时成立.
设函数 .
(?)若，求的单调区间;
(?)若当x?0时?0，求a的取值范围.设函数.
(?)证明:当时，;
(?)设当时，，求的取值范围
设函数(
(?)求的单调区间;
(?)如果对任何，都有，求的取值范围(已知函数(?)在时有极值，求
函数的解析式;
(?)当时，求的取值范围.自编:若不等式对于恒成立，求的取值范围.1. 其中;
2.
其中;
由洛必达法则有
，
即当时，，即当，且时，恒成立，所以.综上所述，当，且时，的取值范围为
因此，在上单调递增，且，所以，
即在上单调递增，且，所以.
因此，所以在上单调递增.
由洛必达法则有
，即当时，
，即有，所以.综上所述，的取值范围.
3.
其中;
4.
其中;
近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创
新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.
解:应用洛必达法则当时，原不等式等价于记，则.记，则因为，，所以在上单调递减，，
所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路――分类讨论和假设反证的方法.
洛必达法则:设函数、满足:
(1);(2)在内，和都存在，且;
(3) (可为实数，也可以是).
则已知函数，曲线在点处的切线方程为(?)求、的值;
(?)如果当，且时，，求的取值范围(?)解得，(?)由(?)知，所以考虑函数，则 i 当时，由知，当时，，当时，，可得;当时，，可得，从而当且时，，即(ii)时，由于当时，故而，故当时，，可得与题设矛盾(iii)时， ，而，故当时，，可得与题设矛盾综得，的取值范围为当，且时，，
也即，记，，且，
记，则，
从而在单调递增，因此当时，当时，时，当时，在上单调递减，在上单调递增.
注:本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当时，函数值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.
设函数.
(?)若，求的单调区间;
(?)当时，求的取值范围.
应用洛必达法则和导数
(?)当时，即.
?当时，;?当时，等价于.
记 ，则.
记 ，则，当时，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，，从而在上单调递增.
由洛必达法则有，
即当时，，所以当时，，因此.
综上所述，当且时成立.
自编:若不等式对于恒成立，求的取值范围.由洛必达法则有
，时，，即有.
故时，不等式对于恒成立.”型式子.
2010海南宁夏(21)已知函数(?)在时有极值，求函数的解析式;
(?)当时，求的取值范围.解:(?)(?)当时，即.
?当时，;
?当时，等价于，也即. 记，，则.
记，，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.
2010全国大纲(22)
设函数.
(?)证明:当时，;
(?)设当时，，求的取值范围 解:(?)
(?)，此时.
?当时，若，则，不成立; ?当时，当时，;
若，则;
若，则等价于，即.
记，则.
记，则，.
解:(?)(
当()时，，即;
当()时，，即(
因此在每一个区间()是增函数， 在每一个区间()是减函数( 解:(?)
(?)
若，则;
若，则等价于，即
则.
记，
因此，当时，，在上单调递减，且，故，所以在上单调递减，
而.
另一方面，当时，，因此. 1
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