专题一
三角函数、解三角形与平面向量
一 知识要点整合
·三角函数的图像与性质·
·三角恒等变换·
·解三角形·
·平面向量·
二 典型例题
（3）
例5
例6．
例7．．
例8．
例9.
例10.
三 精编
试题
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11.
12.
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14.
15.
16.
17.
18（本题满分12分）.
19.（本题满分12分）
20. （本题满分12分）
21. （本题满分12分）
22. （本题满分12分）
23. （本题满分12分）
已知
,
,
?
(1)求
的单调递减区间?
(2)若函数
与
关于直线
对称,求当
时,
的最大值?
24. （本题满分12分）
已知
的内角A． B．C所对边分别为a、b、c，设向量
，
，且
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的最大值.
25. （本题满分12分）
甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为15
海里/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40海里的B岛出发,朝北偏东
的方向作匀速直线航行,速度为10
海里/小时.(如图所示)
(Ⅰ)求出发后3小时两船相距多少海里?
(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?
【解析】:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1, y1) Q (x2,y2).
(I)令
,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20)
.
即两船出发后3小时时,相距
锂
(II)由(I)的解法过程易知:
∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20
即两船出发4小时时,相距20
海里为两船最近距离.
26. （本题满分12分）
在锐角
中，已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c，且
(tanA－tanB)＝1＋tanA·tan B．
(1)若a2－ab＝c2－b2，求A． B．C的大小；
(2)已知向量
＝(sinA，cosA)，
＝(cosB，sinB)，求｜3
－2
｜的取值范围．
【解析】
27. （本题满分12分）
如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路
，且拐弯处的转角为
．已知某人从
沿
走到
用了10分钟，从
沿
走到
用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径
的长（精确到1米）．
【解析】解法一：设该扇形的半径为r米. 由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=
在
中，
即
解得
（米）
解法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），
∴ AC=700（米）
在直角
∴
（米）
28. （本题满分12分）
已知角
的顶点在原点,始边与
轴的正半轴重合,终边经过点
.
(1)求
的值;
(2)定义行列式运算
,求行列式
的值;
(3)若函数
(
),
求函数
的最大值,并指出取到最大值时x的值
【解析】:(1)∵ 角
终边经过点
,
∴
.
(2)
,
.
.
(3)
(
),
∴函数
(
),
∴
, 此时
.
29. （本题满分12分）
已知函数
，
．
（1）求
的最大值和最小值；
（2）
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（Ⅰ）
．
又
，
，
即
，
．
（Ⅱ）
，
，
且
，
，即
的取值范围是
．
30. （本题满分12分）
如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知
,
,于A处测得水深
,于B处测得水深
,于C处测得水深
,求∠DEF的余弦值?
【解析】:作
交BE于N,交CF于M.
,
,
在
中,由余弦定理,
31（本题满分12分）
在
中,已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c,向量
,
,且
?
(I)求锐角B的大小;
(II)如果
,求
的面积
的最大值?
【解析】:(1)
2sinB(2cos2
-1)=-
cos2B
2sinBcosB=-
cos2B tan2B=-
∵0<2B<π,∴2B=
,∴锐角B=
(2)由tan2B=-
B=
或
①当B=
时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)
∵△ABC的面积S△ABC=
acsinB=
ac≤
∴△ABC的面积最大值为
②当B=
时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2+
ac≥2ac+
ac=(2+
)ac(当且仅当a=c=
-
时等号成立)
∴ac≤4(2-
)
∵△ABC的面积S△ABC=
acsinB=
ac≤ 2-
∴△ABC的面积最大值为2-
32. （本题满分12分）
设锐角
的内角
的对边分别为
,
.
(Ⅰ)求
的大小;
(Ⅱ)求
的取值范围.
【解析】:(Ⅰ)由
,根据正弦定理得
,所以
,
由
为锐角三角形得
.
(Ⅱ)
.
33（本题满分12分）
在
中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C．
(Ⅰ)求角B的大小;
20070316
(Ⅱ)设
且
的最大值是5,求k的值.
【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,
∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C．
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．
∵0
1,∴t=1时,
取最大值.
依题意得,-2+4k+1=5,∴k=
.
34 （本题满分12分）
在
中,角
所对的边分别为
,
.
I.试判断△
的形状;
II.若△
的周长为16,求面积的最大值.
【解析】:I.
,所以此三角形为直角三角形.
II.
,
当且仅当
时取等号,
此时面积的最大值为
.
35. （本题满分12分）
在
中，已知内角
，边
．设内角
，周长为
．
（1）求函数
的解析式和定义域；（2）求函数
的最大值．
解析：（1）
的内角和
，由
得
．应用正弦定理，知
，
．因为
，
所以
，
（2）因为
，
所以，当
，即
时，
取得最大值
．
36. （本题满分12分）
已知
的面积为
，且满足0≤
≤
，设
和
的夹角为
．（
）求
的取值范围；
（
）求函数
的最大值与最小值．
解析：（Ⅰ）设
中角
的对边分别为
，
则由
，
，可得
，
．
（Ⅱ）
．
，
，
．
即当
时，
；当
时，
．
37. （本题满分12分）
如图，甲船以每小时
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于
处时，乙船位于甲船的北偏西
方向的
处，此时两船相距
海里，当甲船航行
分钟到达
处时，乙船航行到甲船的北偏西
方向的
处，此时两船相距
海里，问乙船每小时航行多少海里？
解析：如图，连结
，
，
，
是等边三角形，
，在
中，由余弦定理得
，
因此乙船的速度的大小为
答：乙船每小时航行
海里.
浙公网安备 33021202002483