模块4热点题型三数列求和-《奇招制胜》2017年高考数学(理)热点 题型全突破Word版含解析

模块4热点题型三数列求和-《奇招制胜》2017年高考数学(理)热点 题型全突破Word版含解析 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 热点题型三 数列求和 数列的求和是高考重点考查的内容，也是考纲明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即问题的解答常用的方法可以归纳为几种(因此，考生有效地化归问题是正确解题的前提，合理地构建方法是成功解题的关键，正确的处理过程是制胜的法宝，这部分内容在高考中既有以选择题、填空题形式的简单考查，也有以解答题重点考查的情况出现( 【基础知识整合】 求数列前n项和的常用方法 1.分组求和法 分组转化法求和的常见类型 (1)若a,b?c，且{b}，{c}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a}的前n项和。 nnnnnn ,b，n为奇数n,,(2)通项公式为a,的数列，其中数列{b}，{c}是等比数列或等差数列，可nnn ,c，n为偶数,n 采用分组求和法求和。 提醒:某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论。 2.裂项相消法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. n1da如:是公差为的等差数列，求 ,,,naa,1k，1kk ,,11111,,,,d0解:由 ，，,,aaaaddaa?，，，kkkkkk，，11,, nn，，,,,,,,,,11111111111? ……,,,,，,，，,,,,,,,,,,,,,aadaadaaaaaa,,11kk，，，1112231kkkknn,,,,,,,,，， ,,111,, ,,daa11n，,, 3.错位相减法 baabn若为等差数列，为等比数列，求数列(差比数列)前项和，可由,,,,,,nnnn bSSqS,，求，其中为的公比. q,,nnnn www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 1 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 231n,如: ? Sxxxnx,，，，，，1234……n 2341nn, ? xSxxxxnxnx?,，，，，，,，2341……，，n 21nn,?—? 11,,，，，，,xSxxxnx……，，n nn1,x，，nn，1，，nxx,1x,1时，，时， S,,Sn,，，，，,123……nn21,x21,x，， 1.倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. Saaaa,，，，，……,nnn121,相加 2Saaaaaa,，，，，，，……，，，，，，,nnnn1211,Saaaa,，，，，……nnn,121, 一、 裂项相消 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和( 【典例1】 【2015年高考新课标?(17)】为数列{}的前项和.已知,0，Saannnn 2=. 43S，aa，nnn (?)求{}的通项公式; an 1(?)设 ,求数列{}的前项和. bb,nnnaa，1nn 1121n，,【答案】(?)(?) 646n， 【解析】 试题分析:(?)先用数列第项与前项和的关系求出数列{a}的递推公式，可以判断数列nnn{aa}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式;(?)根据(?)nn b数列{}的通项公式，再用裂项相消法求其前项和. nn 1111b(?)由(?)知，=， ,,()n(21)(23)22123nnnn，，，， b所以数列{}前n项和为 n www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 2 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 111111111= =. ,[()()()],，,，，,？bbb，，，？12n646n，235572123nn，， 考点:数列前n项和与第n项的关系;等差数列定义与通项公式;裂项相消法 【思路点拨】 Sn,1,,1已知数列前n项和与第n项关系，求数列通项公式，常用将所给条a,,nSSn,,,2nn,1, 件化为关于前n项和的递推关系或是关于第n项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 【典例2】 【2017届贵州遵义市高三上学期期中考试】在公差不为零的等差数列中，已a,,n知，且成等比数列( a,3aaa、、2137 (1)求数列a的通项公式; ,,n 9(2)设数列a的前项和为，记，求数列b的前项和( STb,nn,,,,nnnnnS22n n,1T,nan,，1nn【答案】(1)(2) 【解析】 a,,nd试题解析:?设的公差为，依题意得 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 3 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 ad，,3,1,2adaad，,，26，，，，,111 ,d,0,， a,2,1,d,1,解得， ann,，,，,，2111，，n? 考点:等差数列通项，裂项相消法求和 【思路点拨】 裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若 ,,ca干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为,,,,naann，1,, 常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的 11裂项求和，如或. nn(2)，(1)(3)nn，， 【解题技巧与方法总结】 本题第二问的求和方法采用的是“裂项相消”，裂项相消的解题思想是利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和，利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(即前后“对称”)，另外，在数列与不等式的综合考查中有时也会用到裂项相消。 解题步骤:第一步 定通项公式:即根据已知条件求出数列的通项公式; 第二步 巧裂项:即根据通项公式特征准确裂项，将其 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为两项之差的形式; www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 4 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 第三步 消项求和:即把握消项的规律，准确求和. 附: 常见的裂项方法(其中n为正整数) 数列 裂项方法 1 1111,,nn(k)，,, k,nn，k,nn(k)， (k为非零常数) ,,11111,,,, ,, 224n,14n,12,2n,12n，1,,, ，，1111 ,,,nnn(1)(2)，，2(1)(1)(2)nnnn，，，，， 11,,1,(n，k,n) ,, k,n，n，k,n，n，k ,,1,,,,log1， a1,n,,,,,log1，,log(n，1),logn aaa,,n>0，?1aa 【变式训练】 2a【2017届江西抚州市七校高三上学期联考】在等差数列中，，且aa，,4,,n13 ( aaa，，,18567 a(1)求数列的通项公式; ,,n ,,1,,(2)若aaa,,成等比数列，求数列的前项和S n,,124n22na，，，,,n,, 3878nan,,S,an,【答案】(1),;(2). nnn22n，2525 【解析】 试题分析:(1)利用等差公式求通项公式;(2)利用裂项相消法求和. daaaaa，，,,318a,6试题解析:(1)设的公差为，由得 ,,n36766 2,aad，，,248211,，,,，,,,,,5385810aaaaaa,1?，或 ，，，，,1111115ad，,561, 8383878d,an,,a,,当时，?，? 1n2552525 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 5 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 d,1当时，?，?， a,1an,1n (2)若成等比数列，则， aaa,,an,124n 111111,,,,, ? ,,nannnn，，，222121，，，，,,n 11111111n,,,,? S,,，,，，,,,,11？n,,,,222312122nnnn，，，,,,, 考点:等差等比数列基本运算及裂项相消法求和. 类型二 错位相减 一般地，如果数列{a}是等差数列，{b}是等比数列，求数列{a?b}的前n项和时，可采nnnn用错位相减法求和，一般是在和式的两边同乘以等比数列{b}的公比，然后作差求解。若{b}nn 的公比为参数(字母)，则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和。 2【典例3】 【2016高考山东理数(18)】已知数列a 的前n项和=3n+8n，b是等差S,,,,nnn数列，且 abb,，.nnn，1 b(I)求数列的通项公式; ,,n n，1(1)a，nc(II)令 求数列的前n项和 Tc,.,,nnnn(2)b，n n，2【答案】(I)b,3n，1;(II). T,3n,2nn n,2a,S,S,6n，5试题解析:(I)由题意知当时，， nnn,1 n,1当时，a,S,11， 11 a,6n，5所以. n db设数列的公差为， ,,n a,b，b11,2b，d,,1121b,4,d,3由，即，可解得， ,,1abb,，17,2b，3d2231,, www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 6 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 所以. b,3n，1n n，1(66)n，n，1(II)由(I)知， cn,,，,3(1)2nn(33)n， 又， T,c，c，c，,,,，cn123n 2341n，得， Tn,，，，，，，，,,,，，，3[223242(1)2]n 3452n，， 23[223242(1)2]Tn,，，，，，，，,,,，，，n 两式作差，得 23412nn，，,,，，，，，,,,，,，，Tn3[22222(1)2]n n4(21),n，2n,，，,，，3[4(1)2] 21, ，2nn,,,32 n，2所以 T,3n,2n 考点: 数列前n项和与第n项的关系;等差数列定义与通项公式;错位相减法 a【典例4】 【2017届四川遂宁等四市高三一诊联考理数】设各项均为正数的数列的前项n,,n S和为，且满足( 21SanN,，,:，，nnn a(?)求数列的通项公式; ,,n nbT(?)若ba,，,12，求数列的前项和( n,,，，nnnn 431n,n，1an,,21【答案】(?);(?)( T,，,4nn99 【解析】 Sa{}a试题分析:(?)首先利用与的关系结合已知条件等式推出数列是等差数列，由此nnn {}ab求得数列的通项公式;(?)首先结合(?)求得的表达式，然后利用错位相减法求nn解即可( n,1a,1试题解析:(?)当时，有21aa,，，解得; 111 22n?2421Saa,，，421Saa，，当21Sa,，时，由得，， nnnnnn,,,,nn111 2242aaaaa,,，,两式相减得， ，，nnnnn,,11 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 7 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 所以， aaaa，,,,20，，，，nnnn,,11 因为数列的各项为正，所以， aaa,,,20,,nnn,1 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， a,,n 所以数列的通项公式为( aan,,21,,nn 考点:1、等差数列的定义及通项公式;2、错位相减法求数列的和( 【思路点拨】 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法(常用转化方法:变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等( 【变式训练1】 a设各项均为正数的数列的前项和为，且满足: nSS,,nnn 222*233230 SnnSnnnN,，,,，,,，. ，，，，nn (?)求的值; a1 a(?)求数列的通项公式; ,,n anb(?)设，求数列的前n项和. T,,,bnnn，1n3 323n，【答案】(?);(?);(?). a,3an,3T,,1nnn443, 【解析】 222*n,1233230 SnnSnnnN,，,,，,,，a试题分析: (?)在已知条件中，令可求，，，，nn1的值; 222*2，，233230 SnnSnnnN,，,,，,,，(?)由得从而解得SSnn，,,，,1230，，，，，，，，nnnn，， www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 8 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 Sn,1,,132，由可求数列的通项公式;(?)由题意可写出数列aa,Snn,，,,，，,nnnSSn,,,22nn,1, a3nnn的通项公式，由的通项公式的表达形式可知，其分子是等差数列，bb,,,,,,,bnnn，，11nnn333 分母是等比数列，所以用错位相减法求其前项和即可. nTn a3nnn(?)由(?)可得 ,,,bn，，11nnn333 1231nn,?; Tbbbb,，，，，,，，，，，……nn123,231nn33333 11231nn,?; T,，，，，，…n2341，nn333333 111111n? ,,，，，，，,…TTnn2341，nn3333333 11,n，1nn21111133? T,，，，，，,,,…n23411nnn，，133333333,1311123nn，,,,,,,,1 ,,nnn，，11233223,,, 323n，? T,,nn443, aS考点:1. 与关系;2.错位相减法求和. nn 【变式训练2】 ,,aSnS,9a,a,a已知等差数列的前项和为，且，成等比数列. nn3137 ,,a(1)求数列的通项公式; n www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 9 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 n0(2)若数列的公差不为，数列满足，求数列的前项和. ,,,,,,abb,(a,1)2bTnnnnnnn n，1【答案】(1);(2). T,(n,1),2，2an,，1nn 【解析】 n(2)由题意可知， b,n,2n 2n?? T,b，b，,,,，b,1，2，2，2，,,,，n,2n12n 23nn，1?， 2T,1，2，2，2，,,,，(n,1),2，n,2n 23nn，1n，1?-?得:， ,T,2，2，2，,,,，2,n,2,,(n,1),2,2n n，1?T,(n,1),2，2. n 考点:1.等差数列的综合;2.等比数列的综合;3.错位相减法的运用. www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 10 - 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 11 -