第三章 光的干涉
§ 3.1 两列单色波的干涉花样
一．两个点光源的干涉
球面波，在场点P相遇，则有
可设初位相均为零，则位相差
光程差
在真空中
干涉相长： 即
干涉相消： 即
j=0，1，2，3，4，……被称做干涉级数。
亮条纹和暗条纹在空间形成一系列双叶旋转双曲面。在平面接收屏上为一组双曲线，明暗交错分布。干涉条纹为非定域的，空间各处均可见到。
对于距离为d的两个点源的干涉，如果物点和场点都满足近轴条件，则两点发出的光波在屏上的复振幅分别为
合成的复振幅为
强度分布为
为从一个孔中出射的光波在屏上的强度。
是一系列等间隔的平行直条纹。间距由决定，为。
二．两个线光源的干涉（双缝干涉）
在接收屏上，为相互平行的直条纹，明暗交错。满足近轴条件时，
，
则亮条纹在 处 暗条纹在 处
亮（暗）条纹间距
如两列波初位相不为零，则条纹形状不变，整体沿X向移动。
如光源和接收屏之间充满介质，因为，则条纹间距为 ， n为折射率。
干涉条纹为非定域的，接收屏在各处均可看到条纹。
三．干涉条纹的反衬度（可见度）
反衬度的定义：在接收屏上一选定的区域中，取光强最大值和最小值，有
而
则有 ，
当A1=A2时，γ=1；当A1<
>A2时，即A1、A2相差悬殊时，γ=0。
记I0=I1+I2，则条纹亮度可
表
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示为
四．两束平行光的干涉
两列同频率单色光，。振幅分别为A1，A2；初位相为，，方向余弦角为（），（）
在Z=0的波前上的位相为，
位相差
（x，y）处的强度为
可得干涉条纹
=
即亮、暗条纹都是等间隔的平行直线，形成平行直线族，斜率为
条纹间隔为
或条纹的空间频率为
是非定域的。
§ 3.2 相干光的获得
一．原子发光的特点
原子从较高的能量状态变化（跃迁）到较低的能量状态时，便会有多余的能量，可以以各种形式释放出来。如果两能量之差合适，则以发光的形式释放能量。所以，发光是原子在不同的能量状态之间跃迁的结果。
光源中总是包含大量的原子，总是有大量的原子同时发光，不同原子所发的光波，都有随意的传播方向、振动方向、位相和频率。所以，不同原子在同一时刻所发出的光波是不相干的；同一原子在不同时刻所发出的光波也是不相干的。即普通光源所发的光都是不相干的。所以，在通常情况下看不到光的干涉。即普通光源所发的光在相遇时总是强度相加，不会产生干涉，出现光强的重新分布。
二．相干光的获得
对于普通的光源，要想得到相干光，只有一种方法，就是设法将同一个原子在同一时刻所发出的一列光波分为几部分，这几部分光波由于来自同一列光波，所以具有相同的频率、固定的位相差，而且存在相互平行的振动分量，就是相干的。这就是干涉的物理本质。所以，也可以说，干涉是一列光波自己和自己的干涉，也只有自己和自己之间才有可能发生干涉。
光源所发出的大量光波，其中的每一列都与自己干涉，形成一个干涉花样，有一个光强分布；不同的光波之间，则是干涉花样的强度叠加。
可以用数学表达式表示如下：
在时刻t，光源中第I个原子跃迁发出的波记为Ui，该列波经分光装置后分为两部分，这两部分是相干的。这两部分到达场点P时振幅为，位相差为，该原子发出的波在P点的干涉强度为，对于点光源和相同的干涉装置，所有原子的是相同的。所有原子在t时刻发出的波在P点形成的总的干涉强度为
可以通过分波前或分振幅的方法得到相干光。
三、杨氏干涉
一列光波经过双缝或双孔，分成相干的两列光波，两列相干光在空间P处相遇，位相差为产生干涉。
第二列光波分成的两列相干光，在P处的位相差与第一列光波相同，亦为，产生与第一列相同的干涉强度分布，与第一列所产生的干涉，进行强度叠加。依此类推，得到一个干涉花样。
其物理过程为：第一步是相干叠加，第二步是强度叠加（非相干）。
光源发出的任一列光波，经过双缝或双孔，分成相干的两列，在空间相遇，产生干涉。
光源发出的不同光波波列是不相干的，各自干涉后，相互之间只能进行强度叠加。
上述物理过程为：第一步是同一列波的相干叠加；第二步是不同波列间的强度叠加（非相干）。
四、干涉的特点
干涉是一列一列分立的光波之间的相干叠加
干涉是一列光波自己和自己的干涉
干涉的结果，使得光的能量在空间重新分布，形成一系列明暗交错的干涉条纹
干涉之后的光波场仍然是定态波场
§ 3.3 分波前的干涉装置
一．杨氏干涉
一列光波经过双缝或双孔，分成相干的两列光波，两列相干光在空间P处相遇，位相差为产生干涉。
第二列光波分成的两列相干光，在P处的位相差与第一列光波相同，亦为，产生与第一列相同的干涉强度分布，与第一列所产生的干涉，进行强度叠加。依此类推，得到一个干涉花样。
其物理过程为：第一步是相干叠加，第二步是强度叠加（非相干）。
二．菲涅耳（Fresnel）双镜
三．罗埃镜
四. 菲涅耳（Fresnel）双棱镜
五．维纳驻波的干涉
入射波
反射波
，
合振动
形成驻波。在，，说明，反射时有半波损失。则
，光强 ，z=0处，I=0，为极小值。
暗纹间隔，可得，板G上条纹间隔为
斜入射时，将波矢分解为平行和垂直于z的两部分。与z平行部分无反射波，不发生干涉。
六．光场的空间相干性
1、光源宽度对干涉条纹可见度的影响
对于由S’点发出的光波，到达P点时，光程差包括两部分：
，。
设S’的坐标为x，考虑到对于天体的测量，则b>>d，同时l也很大。
，光源中心对双缝的张角，称为干涉孔径。S’上下移动时，不变。
扩展光源上一段形成的干涉强度
干涉场的强度为
可见度
，即时，=0，此时b为扩展光源的极限宽度。
由于扩展光源导致干涉消失，此为光的空间相干性。
要求相干光源宽度，或者在光源一定的情况下，双缝间距，干涉孔径角 。可得最大干涉孔径角，即相干孔径。
，空间相干性的反比公式。
当双缝处于相干孔径之内时，可出现干涉，否则无干涉。
相干面积。
七．光场的时间相干性
光源的非单色性对干涉的影响。
入射光波长范围为，在屏上位置
除j=0级之外，第j级亮纹的宽度从到。
当的j级与的j+1级重合时，干涉消失。即
，可得，最大相干级数。
对应的光程差=，相干长度。
关于相干长度的说明。
一列单色波可表示为，复色光是波长有一定范围的光波，实际上是波长不同的一系列单色波的叠加。即，波长连续变化时，求和变为积分，有
波矢的范围为，各单色波振幅相等，即，,对于准单色波，由于其波长范围很小，有，记，
积分式为
，记，，则有
是波矢为k0，有效分布区域为的波包。
其中高频部分的波矢为，频率为，波包的速度为，是这些不同频率的单色波叠加之后的波群传播的速度，称为群速度。
由于，所以有，
而，所以
波列等效长度，用频率表示，，故，。
波包传过这一长度的时间为，有，即。时间相干性的反比公式。以上的计算表明，非单色波列是在空间有限上的一个波包，长度即为其相干长度。两列波到达某一点的光程差大于波列长度时，它们是不能相遇的，因而不可能进行叠加，这就是相干长度的物理本质。也是时间相干性的物理本质。
§ 3.4 菲涅耳（Fresnel）公式
入射光在媒质界面处分为反射和折射两部分。
一．振动矢量的分解
将振动矢量分解为垂直于入射面的S分量和平行于入射面的P分量。P 、S和k构成右手系。S沿+y方向为正。图示为各个分量的正方向。
Fresnel公式描述了各个分量的电矢量之间的关系。
对于定态光波，Fresnel公式也是各个分量复振幅之间的关系式。
二．Fresnel公式
反射、折射瞬间的电矢量与入射电矢量之间的关系。
反射光
折射光
三、反射率与透射率
从Fresnel公式可以直接得到反射率和透射率。
振幅反射率，
光强反射率，
振幅透射率，，
光强透射率，，
能流反射率等于光强的反射率
能流透射率，
四．半波损失的解释
光波由光疏介质射向光密介质，n1>A3>>A4>>……，……反射光，A1，A2起主要作用；透射光，可见度极小。
如果是高反射率膜，则r很大，，而t很小，故透射的各列波的振幅比较接近，此时就必须考虑多光束的干涉。
二、 干涉光的定域
由于用波的模型描述光，从上表面反射的光，可以向任意方向传播，从薄膜内部透射出来的光，同样也可以向任意方向传播，所以在空间各处都有交叠，都可以产生干涉。
但是，一方面，反射波和透射波的能量最大的方向，还是符合几何光学定律得反射和折射方向，另一方面，可以采用特定的光路，使波列在特定的区域内进行交叠，产生干涉，观察光的干涉。对于薄膜的干涉，最常用的有两种方法，第一，让波列在无限远处产生干涉，由于只有相互平行的波列在能在无限远处相遇，或者这些波的倾角是相同的，被称为等倾干涉；第二、让波列在薄膜的表面进行干涉，由于在膜厚相等的区域，具有相同的光程或光程差，所以，这类干涉被称为等厚干涉。
一 . 等倾干涉——薄膜两表面平行
在所有的反射光和透射光中，相互平行的光将汇聚在无穷远处，则它们的干涉也将在无穷远处发生。如果在薄膜上表面用凸透镜观察，则所有相互平行的光将汇聚在凸透镜的焦平面上。在这种干涉装置中，只需要考虑相互平行的光即可。
1 干涉级
与透镜光轴夹角为的光，则在薄膜内，其折射角为，这两条光线在透镜焦平面相遇时的光程差可以按如下方法计算
，，
两列波之间有半波损失，则
或=干涉相长，干涉相消。
入射角相同时，光程差相同，是同一干涉级，故名等倾干涉。入射点不同、入射面不同，只要相对于界面法线，有相同的角度，经透镜后，在焦平面上汇聚为同心圆。定域于无穷远处。所以等倾干涉的条纹是一系列的同心圆环。其中每一条纹对透镜光心的张角为。
2 干涉条纹的分布特征
（1） 中央条纹
，，垂直入射，干涉级最大，即中央条纹的干涉级数最大，由决定。
h增大，对同一j，i1增大，即圆环膨胀。
h减小，对同一j，i1减小，即圆环收缩。
（2） 条纹间距
相邻条纹，，，，厚度大，条纹间隔小。
（3） 条纹角宽度
相邻亮暗条纹之间的角距离。
=，=
,
（4） 条纹分布
，中心处，角度小，大，即条纹中心疏，周围密。
二 . 等厚干涉
薄膜两表面不平行，有一夹角，则在光波相交处均有干涉，整个空间都有干涉条纹，是非定域的。
如果仅仅观察薄膜上表面处的干涉，则计算方法如下。
由于实用的等厚干涉装置，薄膜两面间的夹角是很小的，计算光程差的方法同前，有
或=干涉相长，干涉相消。
正入射时，，h相同处，j相同，故名等厚干涉，定域于薄膜上表面。
则亮纹位置为
j，j+1间高度差，在表面间距
在尖端处，只有半波损失，反射光永远是暗纹。透射光是亮纹。
可用于检测表面平整，确定凸凹。
由于厚度相等处是同一级干涉条纹，所以有凹坑处，厚度增大，不符合干涉的条件，但是，在凹坑附近靠近薄膜尖端的一侧，由于厚度较小，符合干涉的条件，则条纹将向此处弯曲。对于凸起，则条纹向厚的一侧偏移。
§ 3.6 分振幅的干涉装置
一 .Michelson干涉仪
G1：分光板，G2：补偿板。G1与M1，M2成45o角。两镜均有半波损失。
为等倾或等厚干涉，。
相当于空气膜的干涉。用于精确测量长度。
条纹形状
1、M1┴M2 等倾干涉
同心圆环，圆心在视场中央。
2、M1不垂直于M2 等厚干涉
P1，P2点进入光瞳的光线必须是倾斜的，故其入射角比中央O点大，所以h必须增大才能使得满足干涉相长条件，故条纹向厚的一端弯曲。
傅里叶变换光谱仪
在Michelson干涉仪中，可以让进行干涉的两束光的强度相等，即它们的振幅相等，记为，则干涉强度可表示为
，而仪器接收到的光强为各种波长的强度之和。
，其中，为光源光强按波数的分布。即有
与波长无关，而后面的积分是一个傅里叶余弦变换的表达式。其逆变换为
。在Michelson干涉仪中，光程差即为两反光镜之间距离的两倍，即2D，所以，只要在任何位置上
记录
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得到衍射光强，即可通过傅里叶变换得到光源的光谱分布。由此可以得到光源的光谱分布或。
二 .干涉滤波片
利用干涉相长或干涉相消原理，对某些波长增透或增反，制成光学镜头或反射镜以及滤光镜。
三 .牛顿环（圈）
反射光：一列在球面被反射，另一列在平面被反射，有半波损失。是等厚干涉。
亮纹，即，。
而，因为2R>>h，所以，。
Newton Ring 半径为 。
透射光：一列直接透过，另一列在平面和球面间反射后透过，由于两次反射，无半波损失。
Newton Ring 半径 。
可以通过测量Newton Ring半径得到球面透镜曲率半径R。
§ 3.7 多光束干涉——Fabry-Perot干涉仪
一 .光强分布
两相对反射面严格平行，由于镀有高反射率膜，光线在两面间多次反射。
等倾干涉，条纹为同心圆环。
除第一列反射光外，相邻两列反射光相同光程差，相邻两列透射光也有相同光程差和位相差，
，
第一列位相为，第n列位相为
对于透射光，振幅可表示为
==
，对光强的反射率。
第n列透射光的复振幅为
相干叠加
=，当时，
透射光强
而
，
反射光
半值宽度：光强降为峰值一半时峰的宽度。光强按为周期分布，可在附近计算半值宽度，得
，即，得到。越大，越小，条纹越锐。
二 .光波场特性
1、 条纹角分布
，
当时，，条纹半角宽度
大，h长，小，条纹锐。中央条纹宽，周围细锐。
薄膜干涉，即双光束干涉时，，可见F—P条纹锐得多。即出射的条纹发散角很小。保证了激光的平行性。
2、 频率（波长）分布
只有特殊的波长满足极大条件，即，
在附近，虽经干涉，并未全部相消，设可见的波长范围为，则有，可得
h大，大时，小。可用于选模。保证了激光的单色性。
3、 光谱的精细结构分析
，
，即
为波长差为的同一级亮条纹的角距离。与薄膜干涉相同，但由于条纹锐得多，所以靠得很近的条纹也可以分辨清楚。
当时，即相邻两条纹的角距离等于每一个条纹的半角宽度时，为可以分辨的极限。此为Taylor判据。
，，可分辨最小波长间隔
，色分辨本领为
浙公网安备 33021202002483