序数和基数
1. 序数
定义1.1 对于任何集合,若其任何元素都是其子集,则称该集合是传递的(transitive)。
定义1.2 若某集合是传递的且在该集合上是良序,则称该集合为序数(ordinal number,简称ordinal)。
根据定义,所有自然数都是序数,称为有限序数。所有自然数组成的集合是一个序数,它是最小的无穷序数,记为或者N。
后继序数:若α是序数,则α的后继也是序数,称为后继序数。
极限序数:若α>0且不是后继序数,则称为极限序数。极限序数一定是一个无穷递增的后继序数序列的并集。例如,
定义1.3偏序集的同构:isomorphic
定理1.4 每个良序集与一个唯一的序数同构。
定理1.5 (超穷归纳)令C是序数构成的类,并且满足如下3个条件:
(i)
(ii)
(iii)若是非零极限序数且任何小于它的序数都在C中,则也在C中。
则任何序数都在C中。
定义1.6
(1)有穷序列:
(2)无穷序列:
(3)超穷序列:
定义1.7(序数序列的极限) 设是一个大于0的极限序数,是以为定义域的单调非减序列,则该序列的极限定义为
定义1.8 序数算术:
(1) 加法(addition):
(2) 乘法(multiplication):
(3) 指数(exponentiation):
2. 基数
集合论的出现源于康托当时所思考的一个问题,即比较实数集与自然数集的大小。实数是无穷多的,自然数也是无穷多的。这两个无穷是一样的吗?康托选择了一个合适的比较方法,即在两个集合之间建立映射。若存在从一个集合到另一个集合的单射,则前者不比后者大。采用这个比较方法,不难
证明
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,整数集和自然数集是一样大的,有理数集与整数集是一样大的。康托发明了一种新颖的反证法:对角化方法,用此法证明了实数集比自然数集大。
定义2.1 若一个序数与其任何真子集之间不存在双射,则称为基数(cardinal number,简称cardinal)。若一个集合A与某基数之间存在双射,则称该集合的基数为,记为
定理2.2(Cantor)对于每个集合X,
证明:参考Thomas Jech所著《Set Theory》第27页上的简短证明。 证毕
定理2.3(Cantor-Bernstein)若且,则
证明:参考Thomas Jech所著《Set Theory》第28页上的简短证明。 证毕
定义2.4 基数算术
引理2.5 若集合X的基数为,则其幂集的基数为。
证明:请读者完成。 证毕
阿列夫(Alephs)
自然数都是基数,称为有穷基数。序数是最小基数,记为,读作“阿列夫零”。对于任何序数,定义为比大的最小基数。对于任何极限序数,令
易知,是基数。
实数集合的基数:
康托猜想(Cantor’s conjecture)或称连续统假设(Continuum Hypothesis),简称CH:
康托于1878年提出,在1900年第二届国际数学家大会上,大卫·希尔伯特把康托尔的连续统假设列入20世纪有待解决的23个重要数学问题之首。1938年哥德尔证明,若ZFC公理系统是没有矛盾的,则连续统假设与ZFC公理系统不矛盾。1963年美国数学家Paul Cohen证明:若ZFC公理系统没有矛盾,则连续统假设独立于ZFC公理系统,即用这个公理系统既不能证明该假设为真,也不能证明其为假。Cohen因此获得1966年的菲尔兹奖章(Fields medal),数学界的“诺贝尔奖”。