经典求极限方法

经典求极限 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 求极限的各种方法 2011.11.12 邱国禄 1(约去零因子求极限 4x,1例1:求极限 limx,1x,1 【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。 x与1x,1x,1x,1 2(x,1)(x，1)(x，1)2【解】=4 lim,lim(x，1)(x，1),6x,x,11x,1 2(分子分母同除求极限 32x,xlim例2:求极限 3x,,3x，1 ,【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 , 3211,xx1,x【解】limlim ,,31x,,x,,333x1，，3x 【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方; x , ,m,n0,1nn，，，axax？a,,10nn,,,mnlim (2) ,,1mm,,x，，？，bxbxb,10mm,anmn,,bn, 3(分子(母)有理化求极限 22例3:求极限 lim(x，3,x，1)x,，, 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 2222(x，3,x，1)(x，3，x，1)22lim(x，3,x，1),lim【解】 22x,，,x,，,x，3，x，1 2 ,lim,022x,，,xx，3，，1 1，tanx,1，sinx例4:求极限 lim3x,0x 1 1，tanx,1，sinxtanx,sinxlim,lim【解】 33x,x,00xx1，tanx,1，sinx 1tanxsinx1tanxsinx1,,limlimlim ,,,33x,x,x,00024xxxx1tan1sin，，， 【注】本 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解(((((((((((题的关键 4(应用两个重要极限求极限 1x11sinxnx两个重要极限是和，第lim(1，),lim(1，),lim(1，x),elim,1x,0,,,,,0xnxxxn一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 xx，1,,例5:求极限lim ,,,，,xx,1,, 1【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出,，再凑，最后凑指，X数部分。 21x,1，，xx22,,x1212，,,,,,,2,,,,【解】 limlim1lim11e,，,，，,,,,,,,,1,x,,,x,，,x,，,x,，,x1x1x1,,,,,,,,,,,2,,，， xxxa，21,,,,,例6:(1);(2)已知，求。 lim,8alim1,,,,2,，,x,，,xxax,,,,, 5(用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有: x当 时,, x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1，x)~x,0e,1 1b2; ，，1,cosx~x,1，ax,1~abx2 (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式; (( (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ((((( xxln(1)，例7:求极限 lim,x,01cos,x xxxxln(1)，,【解】 . limlim2,,xx,,0011cos,x2x2 sinx,xlim例8:求极限 3x,0tanx 2 21x,xxxsincos11sinx,x,,2【解】limlimlim lim,,,,,,3322x,0x,x,x,0006tanxx3x3x 6(用罗必塔法则求极限 2lncos2x,ln(1，sinx)例9:求极限 lim2x,0x ,0【说明】或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 ,0 2sin2xsin2x,,22lncos2x,ln(1，sinx)cos2x1sinx，【解】 limlim,2x,0x,02xx xsin2,21,, ,lim,,,3,,2x,0xxx2cos21，sin,, 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解 xx,tftdt()(),0例10:设函数f(x)连续，且，求极限 f(0),0lim.x0x,xfx,tdt(),0 xtu,,xx0【解】 由于,于是 f(x,t)dt,f(u)(,du),f(u)du,,,x00 xxx(xt)f(t)dtxf(t)dttf(t)dt,,,,,000 limlim,xx00x,x,xf(xt)dtxf(u)du,,,00 xxf(t)dtf(t)dt，xf(x),xf(x),,00== limlimxx00x,x,f(u)du，xf(x)f(u)du，xf(x),,00 xf(t)dt,0f(0)1xlim,.== x0,xf(0)，f(0)2f(u)du,0，f(x)x g(x)7(用对数恒等式求极限 limf(x) 2 x例11:极限 lim[1，ln(1，x)],x0 xx2ln[1ln(1)]2ln(1)22，，，limlimln[1，ln(1，x)]2x,0x,0xxxx【解】 == lim[1，ln(1，x)]limee,e,e.,xx,00 3 ,g(x)【注】对于型未定式的极限，也可用公式 1limf(x) g(x),lim(f(x),1)g(x)= limf(x)(1)e 因为 g(x)limg(x)ln(f(x))limg(x)ln(1，f(x),1)lim(f(x),1)g(x) limf(x),e,e,e x，，12cosx，,,例12:求极限. lim1,,,,,3,0xx3,,,,，， 2cos，x,,2cos，x,,xln,,ln,,3,,e,13,,【解1】 原式 ,lim,lim23x,0x,0xx 1(),,xsinln2cosln3()，,x，x2cos ,lim,lim2x,0x,0xx2 11sin1x ,,,,,limx,0，22cos6xx 2cos，x,,2cos，x,,xln,,ln,,3,,e,13,,【解2】 原式 ,lim,lim23x,0x,0xx cos1x,ln(1)，cos11x,3 ,,,lim,lim22x,x,00x36x 8(利用Taylor公式求极限 x,xa，a,2例13 求极限 . lim, ( a,0 )20x,x 2xxxlna22【解】 , a,e,1，xlna，lna，,( x)2 2x,x22 ; a,1,xlna，lna，,( x)2 x,x222 a，a,2,xlna，,( x). x,x222a，a,2xlna，( x),2？ . lim,lim,lna22x,0x,0xx 4 11,xlim(cot)例14 求极限. x,0xx 111sincosxxx,lim(cot)lim,,x【解】 xx,,00xxxxxsin 32xx32,，,,，;;()[1()]xxxx3!2!,lim 3x,0x 1133,，xx;()()12!3!,,lim3x,0x3. 9(数列极限转化成函数极限求解 2n1,,例15:极限n limsin,,,,nn,, ,【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直 接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。 2,,111x,,12,,sin1y,sin1xx,,,,,,21,,yyx,,,,6【解】考虑辅助极限 limxsin,lime,lime,e,,，,，,,，,xx0,yx,, 2n1,1,,6所以， n,elimsin,,,,nn,, 10(n项和数列极限问题 n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限. ,,111,,例16:极限，，， ？lim,,222222n,,，，，n1n2nn,,【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成,0,1,定积分。f(x) 1,,112n,,,,,, lim,f，f，？，f,,f(x)dx,,,,,,,,,0n,,nnnn,,,,,,,, 5 ,,,, ,,1111？lim，，，【解】原式, ,,222n,,n,,12n,,,,,,111，，，,,,,,,,,nnn,,,,,,,, 1112,1 ,,,lndx,0222，11，x ,,111,,例17:极限 ，，，lim？,,222n,,nnnn，，，12,, n,,112,,,,,,【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成fff,，，，,lim？,,,,,,,,n,,nnnn,,,,,,,, 的形式，因而用两边夹法则求解; (2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。 ,,111,,【解】 ，，，lim？,,222n,,nnnn，，，12,, n111n,，，？，,因为 22222n，nn，1n，2n，nn，1 nn又 lim,lim,122n,,n,,n，nn，1 ,,111,,所以 ,, ，，，lim？,,222n,,nnnn，，，12,, 12(单调有界数列的极限问题 例18:设数列满足 x0,sin(1,2,),,,,xxxn,,,n11nn， (?)证明存在，并求该极限; limxn,,n 12xn,,x，n1(?)计算. lim,,n,,xn,, 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列 极限的存在. 【详解】 (?)因为，则. 0,,x,0sin1,,,,xx,121 可推得 ，则数列有界. 0sin1,1,2,,,,,,xxn,x,,nn，1n 6 xxsinnn，1于是 ，(因当)， 则有，可见数列单xx,xxxx,,0sin时，,,1,,nn，1nxxnn 调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在. limxn,,n 设，在两边令，得 ，解得，即. xx,sinlimxl,lim0x,n,,ll,sinl,0nn，1nn,,,,nn 1122xxnn,,,,xxsin,，nn1(?) 因 ，由(?)知该极限为型， 1limlim,,,,,,,,,nnxxnn,,,, 1211sinxx,,,12sinx1,,,,x123,,xx,,x6 (使用了罗必塔法则) limsinx,lime,lime,e,,，，，x0x0x0,,,x,, 11221xx,nn,,,,xxsin，nn16故 . limlime,,,,,,,,,,nnxxnn,,,, 7