Ising模型的临界性质

Ising模型的临界性质 Ising模型的临界性质 第35卷第3期 2007年8月 河南师范大学(自然科学版) JournalofHenanNormalUniversity(NaturalScience) ,.35No.3 Aug.2007 文章编号:1000—2367(2007)03—0052—04 Ising模型的临界性质 刘翠梅 (商丘师范学院物理系,河南商丘476000) 摘要:利用重整化群变换和自旋重标相结合的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,研究m分支Koch曲线的Ising模型的相变和临界现 象.求出了系统的临界指数,发现临界指数只与Koch曲线的分形维数有关. 关键词:重整化群变换;Koch曲线;Ising模型;临界现象 中图分类号:0414.22文献标识码:A 相变是自然界中普遍存在的现象.自1869年T.Andrews发现临界点和1873年VanDeWalls提出非 理想气体状态方程以来,相变和临界现象问题就成为凝聚态物理学和统计物理学中非常重要的研究领域. 1971年,B.Mandelbrot研究了自然界中一类具有自相似结构的几何对象,将其命名为分形(fracta1)E,并 在其论着中对分形作了详细的论述,讨论和研究.从此以后,分形研究逐渐成熟发展起来,并取得了很大进 展.上世纪8O年代初,Y.Gefen等人开创性地研究了分形晶格上自旋模型的相变问题],从而开辟了相 变研究的一个崭新领域.相变理论的研究可以分成三个阶段.1944年以前为第一 阶段,这一阶段主要是各种 近似方法的研究,从总体上看属于平均场理论的阶段.1944年I.Onsager关于二维Ising模型的严格解的 研究结果,揭开了人们研究相变的第二阶段.这期间的理论研究和实验资料都 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明与平均场理论的预言有明 显的差别,为进一步深入的理论研究提供了条件.上世纪6O年代B.Widom提出了标度理论,形象地概括 了临界现象的规律,标志着相变研究第三阶段的开始.特别是二十世纪七十年代,K.G.Wilson提出了相变 和临界现象研究的重整化群理论,从而开创了该领域研究的新时代.这里,我们利用重整化群变换和自旋重 标相结合的方法,研究m分支Koch曲线的Ising模型的相变和临界现象. l理论基础 1.1分形 最简单的分形结构便是Koch曲线,即对一线段三等分,将其中间一段删除,换作两条,使四条线段相 等,如此进行下去,得到C,d等图形,如图1. —一 图1单分支Koch曲线Ising模型的生成过程 在这里讨论的一类结构是指图1(b)的3,4两点间加入m个分支的形式,如图2,图3. 1.2Ising模型 Ising模型是研究铁磁性的一个简单模型.在晶格的每个格点位置上,放置一个自旋,每个自旋方向只能 取向上或向下2个态,并只考虑临近自旋之间的相互作用,这样的自旋模型称为Ising模型.用_个变量 收稿日期:2006…102o 基金项目:国家自然科学基金(10372053) 作者简介:刘翠梅(1962--),女,河南夏邑人,商丘师范学院副教授,主要从事一般力 学和相变理论的研究. 第3期刘翠梅:Ising模型的临界性质 来表示自旋,0-可以取?1.两个自旋0-和0-之间的相互作用能为一J0-0-.当J>0时,代表铁磁体,当J<0 时,代表反铁磁体,本文只讨论铁磁体. 2 (a)(b) 图2双分支Koch曲线Ising模型的生成过程 —— 一l2 (a)(b) 图3m分支Koch曲线Ising模型的生成过程 1.3方法 在相变统计力学中,分形品格上的自旋模型已经被广泛的研究见文献[6—9].人们对铁磁系统的相变问 题进行了大量研究工作,并取得了很大的进展.在这些工作中,绝大多数采用的是取值离散的自旋模型.对 于我们讨论的Koch曲线,采用实空间重整化群(renormalizationgroup,简称RG)变换方法,对内部自由度 求和,把一些内部自旋消去,使系统的自由度减少.如果只考虑一个生成元的情况(如图1所示),将图1(b) 变换到图1(a),在重整化群变换下,系统的配分函数保持不变.将图3(b)变换到图3(a)的生成元,在RG变 换下,其配分函数遵循: AexpE--]一?expE-].(1){s} 定义不带撇系统由RG变换为带撇系统.由此得到哈密顿量中对应量的关系,求出描述临界行为的各物 理量. 2理论推导 2.1单分支Koch曲线上的Ising模型 我们首先讨论图1(a),(b)的Ising模型.在各格点放置自旋,在外场中,各点配位数相同,生成过程前后 磁场记为h和h.所以有效哈密顿量为: 一一Kl0"2+百1^(0- l+2),(2) 1 ,一K(0-lsl+s2s3+l+s22)+百1^(0-l+2)+h(sl+s2+3),(3) 代人 AexpE一]一?expE一],(===1,2,3).(4){} 显然,外场部分可单独讨论.得到 AexpEK:]一?exp[K(0-+s.+s.+.)],{S) exPE~h(+)]一?exp[^(+)+^(s+s.+s.)],(一1,2,3)} (6)式中出现1/2因子是此两点与连接最近的键共分得到的.另外,可证明: exp[K0-l2]一chK(1+盯IthK), ?(1+l)(1+km2s)一2(1+k-,+ll2)s一?l 结合(5)得到 thK一thK. 而同时对外场形式(6),因各格点放置相同自旋,应有一一S一S.一S.,从而 expE~-h(0-l+2)]一expE2h(0-l+2)], 即 (5) (6) (7) (8) (9) 54河南师范大学(自然科学版) (1O) 再由此可讨论临界点和临界指数. 由(9)式可知,r—O,cx3为稳定不动点,而r—l为不稳定不动点(r—thK).由此可以得到 一一 4,…)^一面一 P一dinL一一l,(12)一——一丽一 由(10)式可知磁标度指数39: q一dlnL一一l,(13)一——一丽一' 由标度关系得到: 一2一一l,卢一O,y—l,一..,一,】7—2一.(14) 2.2两分支Koch曲线上的Ising模型 如图2,在外场下,由于各格点的配位数不同,(a)图中格点l,3,4和2,5,6的配位数分别为3和2,磁场 记为.和.,(b)图中l,2两格点的磁场记为h.和hz,所以生成过程前后的有效哈密顿量表示为: 一 :== K12+告.l+专22(15) 一一 K(s+zsz)+K(s+sz)(s.+)+.(专+s+sz)+2'专z++轧)6 与上述讨论一致(注意s,s,的贡献均分给,z),对磁场部分,有 (hi2)一(), 则上式右端矩阵的本征值为: 一6,一l(磁标度指数含有In,故舍去,下同)(18) 2.3IT1分支Koch曲线上的Ising模型 我们把以上做法推广到m分支的情形.如图3,沿用各自旋标记,同时可 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 出在磁场中各格点配位数 39m+l和2,则磁场记为h和h,对应(a)图中为和hz,模型生成前后的有效哈密顿量为: 一 一 K12+—士h11+122,(19)m1'十 一 一 +)?s-t-h,.+()(专z+,(2o) S.的贡献亦均分给和.则得-N磁场部分 htz]一『甜 其本征值为:一2(m+1),一l(舍去),这与两分支的情形一致. 另一方面,自旋相互作用项满足: Ae.一?exp~K(s+0"2$2)+K(s+sz)?s],(22) 从而得到 t一. 由此r—l为不稳定不动点,得 .一面dK'一 2, (23) (24) 第3期刘翠梅:Ising模型的临界性质55 可见 ln3 P—di n — L ln2 q—din—LnA1一l ' l1 临界指数为: a一2一,=o,y={,一z一—1一'u'y—1一' =c×..=2一一. m=2时,得到两分支的各临界指数是: a=2一,==,=c×.,=2一,v=. 南(27)式可以得出结论:临界指数随着系统分形维数的变化而变化,并目仅与分形维数有关. 3结语 (25) (26) (27) 本文利用重整化群变换的方法讨论了m分支Koch曲线上的Ising模型临界性质.研究结果表明:临界 指数随着系统分形维数的变化而变化,并且仅与分形维数有关,这进一步证明了相变普适性规律.由此可以 看出RG变换在相变问题中具有十分重要的价值.临界问题在凝聚态,材料物理以及其他科学中是非常普遍 的问题,RG变换的引人为此类问题的解决提供了捷径. 参考文献 [1]杨展如.分形物理学[M].上海:上海科技教育出版社,1996. E2]汪子丹,龚昌德.凝聚态物理中的分形[J].物理学进展,1990,1o(1):l一5. [3]StanleyHE.重整化群与渗流理论[J].物理学进展,1985,5(3):1—65. [4]伍法岳,杨展如.相变与临界现象(I)临界现象引论[J].物理学进展,1981,1(1):10O 一224. [5]伍法岳,杨展如.相变与临界现象(II)一Ising模型EJ].物理学进展,1981,1(2):314 —364. r6]HUANGBi—Hua,LIUCuimei,YANGZhan—it1.InvestigationofScaleExponentsofCompleteandIncompleteAggregation—Annihi lationProcesses[J].CommunicationsinTheoreticalPhys,2004.42(2):299—302. [7]刘平,刘自信,张军梅,等.附相t—UHubbard模型的约束路径MonteCarlo方法研 究EJ].河南师范大学(自然科学版),2003,31 (4):122—122. [8]孙彦清,龙姝明.理想粒子系统偏离平衡态对宏观物理量的影响研究[J].河南师 范大学(自然科学版),2005,33(4):5—7. [9]刘翠梅.SG分形晶格上Gauss模型的临界性质[J].宁夏大学(自然科学 版),2006,27(4):324—326. CriticalCharacterofIsingMode LIUCui—mei (DepartmentofPhysics,ShangqiuTeachersCollege,Shangqiu476000,China) Abstract:Usingthemethodofrenormalizationgroupandspinrescaling,phasetransitionandcriticalphenomenonofI— singmodewithmembranchmentandKochcurveisdisucessed.Thecriticalexponentofsystemisfoundout,andthefactthat criticalexponentisonlycorrelatedwithfractaldimensionofKochcurveisfounded. Keywords:renormalizationgroup;Kochcurve;Isingmodel;criticalphenomenon