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“图形与几何”内容
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51、旋转:
(1)定义:把一个图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转。 (2)性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前后的图形全等。
52、中心对称:
(1)定义:把一个图形绕着某一个点旋转180?，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
(2)性质:中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分;中心对称的两个图形是全等图形。
3、中心对称图形: 5
(1)定义:把一个图形绕着某一个点旋转180?，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
(2)中心对称图形的举例。
54、关于原点对称的点的坐标:点P(x，y)关于原点的对称点为P?(-x，-y)。 55、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
(定理)几何语言:如图所示， (推论)几何语言:如图所示， ?AB是直径，AB?CD于E ?AB是直径，CE=DE ? ? ? ? ? ? ? ? ?CE=DE，BC=BD，AC=AD ?AB?CD，BC=BD，AC=AD
56、推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 注:(1)上述定理中，共有五个条件，即:?过圆心?垂直于弦?平分弦?平分弦所对的优弧?平分弦所对的劣弧，这五个条件中知其中二个可得另外三个。 (2)相关计算:垂径定理的基本图形中，若半径OC、弦心距OE、弦CD(或弦的一半)、弓形高BE这四个量，知其中二个可求得另外二个。所以在相关
题
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目中，222可根据具体情况作出相应的辅助线。具体公式为:BE+OE=OB，OC + CE = OC 。 57、弧、弦、圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等(或所对弦的弦心距相等)。 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦(或两弦的弦心距)中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
(定理)几何语言:如图所示，在?O中， ? ? ?? ?AOB=?COD ?AB=CD，AB=CD ? ? ?? AB=CD??AOB=?COD，AB=CD ? ? ?? AB=CD??AOB=?COD，AB=CD
E B注:若过点O分别作OE?AB于E，OF?CD于F，A
则OE=OF。即为上述定理中的“所对弦的弦心距相等”。 OD
FC
8、圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条5
弧所对的圆心角的一半。
59、圆周角定理的推论:
(1)?半圆(或直径)所对的圆周角是直角;?90?的圆周角所对的弦是直径。
C(推论)几何语言:如图所示，在?O中， A?? AB是直径(或弧AB是半圆) ??C,90? BO ???C,90? ?AB是直径
(2)在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 60、圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补。
D(性质)几何语言:如图所示，在?O中， A ?四边形ABCD是圆内接四边形 O C??A+?C,180?(或?B+?D,180?) B
61、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
62、切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。(常用辅助线:连半径，证垂直;作垂直，等半径。)
(判定定理)几何语言: (性质定理)几何语言: O如图所示，在?O中， 如图所示，在?O中， L?OA是半径， OA?L于A ?直线L切?O于点A A?直线L是?O的切线 ?OA?L
63、切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径。(辅助线:作过切点的半径) 64、切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
BD(定理)几何语言:如图所示，在?O中， P?PC、PD切?O于A、B两点 EO?PA=PB，?APO=?BPO AC
BD 注:如左图，若在图中再添加几条线段，则图P 形涵盖了垂径定理、弧弦圆心角的关系、圆周FGEO 角定理(推论)、圆内接四边形、切线、切线 CA长定理的基本图形。
附几个特殊图形:
ABD
PEDOBO
CCEA
??O是Rt?ABC的内切圆，D、EPB、PA、CD分别切?O于B、A、E， 是切点，则四边形ODCE是正方形。则?PCD的周长等于PB+PA，即: 1?PCD的周长,2 PB ,(AC+BC+AB)?OD ?S?ABC 2 (此公式对于一般三角形也成立) AC 如左图所示:
E AB是直径，CA、CD、DB分别切?O于A、E、B，则 O ??COD,90?
?再连接OE，则?ACO??ECO，?DEO??DBO DB
65、点和圆、直线和圆、圆和圆各种位置关系的数量关系及判断方法:
位置关系名称 公共点个数 数量关系 说明
点在圆外 d > r d:点到圆心的距离 点和圆 无 点在圆上 d = r r:圆的半径 点在圆内 d < r
相离 0个 d > r d:直线到圆心的直线和圆 相切 只有1个 d = r 距离
r:圆的半径 相交 2个 d < r
外离 0个 d > r1+r2
外切 只有1个 d = r1+r2 d:圆心距 圆和圆 相交 2个 r2- r1
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74、相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。(以相似三角形为例)
D几何语言:如左图所示: A??ABC??DEF
ABACBC = = ??A=?D，?B=?E，?C=?F， BCEFDEEFEF
75、相似比为1时，相似的两个图形全等。
76、平行线分线段成比例定理:
?三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。应用于三角形中，会出现以下两种情况:
L2L1L2L1如左图(1):?L3?L4?L5， DE L3A?AD:AB=AE:AC; AD:DB=AE:EC; L4DB:AD=EC:AE; DB:AB=EC:AC DEA 如左图(2):?L3?L4?L5， L5 BCBC?DA:AC=EA:AB; DA:DC=EA:EB; (1) (2) AB:EA=AC:DA; AB:EB=AC:DC
?平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比相等。
77、三角形相似的判定方法:
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A几何语言:如图所示:
DE?DE?BC ??ADE??ABC
CB
2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 (
(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 几何语言:如图所示:
ABACBCD = = ??ABC??DEF (2)?ADEEFEF
ABBC(3)? = ，?B=?E ??ABC??DEF BCEFDEEF
(4)??A=?D，?B=?E ??ABC??DEF 第(3)(4)还有其它情况，也成立。
78、相似直角三角形的判定方法:
?一般三角形相似的判定方法也适用。
?满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似。
D几何语言:如图所示: A
ABABACBC?? = (或 =) DEEFDEEFEBFC??ABC??DEF
79、相似多边形(三角形)的相关量的比:
?相似多边形(三角形)周长的比等于相似比;相似三角形对应高线的比、对应边上的中线的比、对应角的角平分线的比都等于相似比。
?相似多边形(三角形)面积的比等于相似比的平方。
78、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或—k。
80、锐角三角函数:
AACBC(1)定义:如右图，sinA=cosB= ，sinB=cosA= ，ABABBBCACCtanA= ，tanB= 。 ACBC
(2)特殊角的三角函数值:
30? 45? 60?
1 23 (正弦)sin 222
1 23 (余弦)cos 22 2
31 3 (正切)tan 3
81、解直角三角形:
(1)定义:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程。(元素指三边和两个锐角)
222(2)求解过程中，用到的关系:?三边关系:a+b=c(勾股定理);?两锐角之间
ACBC的关系:?A+?B=90?;?边角之间的关系:sinA=cosB= ，sinB=cosA= ，ABAB
BCAC ，tanB= 。 tanA=ACBC
(3)用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形问题); ?根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; ?得到数学问题的答案;
?得到实际问题的答案。
82、投影与视图:
(1) 平行投影、中心投影、正投影:
?定义:由平行光线形成的投影是平行投影;由同一点(点光源)发出的光线形成的投影是中心投影;投影线垂直于投影面产生的投影是正投影。 ?当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。
(2) 三视图:
?三视图分别为主视图、左视图、俯视图;(在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图;在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图;在侧面内得到的由左向右观察物体的视图是左视图。)
?三种视图的位置如右图: 主视图 左视图
俯视图
?画几何体的三视图时，要注意“长对正、高平齐、宽相等” (主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等)，还要注意看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓画成虚线。 ?根据三视图说出立体图形的名称:要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形。
常用辅助线:
BA1、连接AB。
A
2、过点A作AD?BC于D。
DCB
13、延长AB到C～使BC= AB。 2ABC
4、过点O作OE?AB于E～延长OEO
交?O于C。
E AB
C AD
5、延长CG交AF于点H。 H GE
CBF E
A6、分别延长BA、CD交于E。 D
CB
AD 7、过点D作DE?AC～交BC的延长
线于E。 E CB A
8、过点D作DE?BC～交AC于E。 DE
BC
212111
1
浙公网安备 33021202002483