输电线舞动模型的分析(范德波尔方程)

输电线舞动模型的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 (范德波尔方程) 输电线舞动模型的分析(范德波尔方程) 输 电 线 舞 动 模 型 的 分 析 The analysis of the transmission line dancing model 专业: 姓名: 学号: 输电线舞动模型的分析 摘要:通过对覆冰输电导线在水平阵风作用下做垂向驰振的物理模型 进行简化分析，建立了系统微分方程，定性分析研究系统的奇点类型及稳 定性，极限环的存在稳定性;通过KBM法求得系统方程近似解，分析参数 对振动的影响因素。 关键词:输电线舞动;范德波尔方程;稳定性;周 期解 The analysis of the transmission line dancing model Abstract: Based on the ice at the level of transmission wire to do the vertical galloping under the horizontal wind physical model to simplify the analysis, the study established a system of differential equations，Then qualitative analysis the type and stability of singular point, the existence of limit cycle stability.Through the KBW method to obtaine equation approximate solution, analysis the influence factors of parameters on the vibration. Keywords:transmission wire of the dance; Van der pol equation; stability Periodic solution 1.引言 冬季，当水平方向的风吹到因覆冰而变为非圆断面的输电导线时，在 一定的条件下，会诱发导线产生一种低频、大振幅的自激振动，这种自激振动现象称为输电线舞动。其舞动幅度可达一二米，轻者会造成金具损坏和断线，严重的会发生线路倒塔事故，因此对于输电线舞动的模型建立和分析是有很大必要的。输电导线舞动通常发生在冬季导线覆冰而形成非圆断面的情况下，舞动的形成取决于三方面的因素，即覆冰、风激励和线路的结构和参数，由于这些参数的千变万化，因此在实际工程中所发生的舞动是非常复杂的。因此本文主要在稳定的风激励下建立数学模型，研究分析振动方程解得稳定性及各项参数对振动的影响。 2.数学模型的建立 图1.输电线的受力图 截取一小段电线为集中质量，如图1所示，以无振动时线段的质心平衡位置O为原点，建立坐标系(Oxy) ，质心C的垂直坐标为y。由于输电线的圆形断面被冰层覆盖成为非圆形的不规则形状，因此形成攻角为α倾斜速度分量，即速度υ与水平轴x的夹角为α? ?y，当风速为υ0的水平阵风吹来时，其相对输电线的相对速度υ为: υ?j ????y (2.1) 0 其中j为y轴的单位矢量。因此阵风不仅对电线产生沿υ方向的阻力，同时产生于υ垂直的升力FL。根据空气动力学的实验结果，阻力与升力的变化规律为: 22ρυ0ρυ0Fd?cdl， FL?cLl 22 (2.2) 其中ρ为空气密度、l为断面的特征长度、cd，cL分别为阻力系数和升力系数。小攻角时空气动力沿y轴的垂直分量Fy近似为: 其中 2ρυ0Fy?FL?Fdα?cyl 2(2.3) cy?cL?cdα (2.4) cy随攻角α变化的非线性规律如图2所示 图2.空气动力系数与攻角关系曲线 由此可得Fy随α的变化可近似三次多项式: ?yFy?aα?bα3 (2.5) 设m为线段的质量，线段两端拉力合成的弹性恢复力的刚度系数为k，风力Fy以式表示，其中的攻角以式?? 方程为瑞利方程: ?代入，导出输电线段在风力作用下沿y轴运动的动力学 2???εy?(1?δy?2)?ω0yy?0 (2.6) ?作为新的变量仍记为y，参数3δ以δ代替，化为范德波将上式的各项对t求导，将y 尔方程: 其中 2???εy?(1?δy2)?ω0yy?0 (2.7) ?? a3bk， ??2， ?0? ( ??0,??0) (2.8) m?0a?0m 3.定性分析 ??x2，将(2.7)式化为一阶 范德波尔方程为二阶非线性微分方程，令y?x1，y 方程组形式如下: ??x2?y ?22?2?εx2(1?δx1)?ω0x1?x(3.1) 令上式右边等于0可求得方程的奇点为(0,0)，方程在奇点处的雅克比矩阵为: 令特征多项式为0，即 ?0J?0,0?????ω2?01?? ε??(3.2) ?λλE?A???ω2?0?1?22??λ?ελ?ω?0 0λ?ε??(3.3) 可求得特征 值 2ε?ε2?4ω0 λ1,2?2(3.4) 因此可知:当ε?2ω0时，奇点(0,0)是不稳定结点,ε<2ω0时，奇点(0,0)是不稳定焦点。根据庞加莱-本迪克生定理做出的推论可得，此平面自治自治系统内存在稳定的极限环。 取系统参数?0?1，如图所示为系统分别在??1、??5和??1、??4以及任意初始条件下的输电线舞动相图。 ??1??1 ??1??5 ??4??1 ??1??1 ??1??5 ??4??1 ??4??5 ??4??5 图3.不同ε、δ值及任意初始条件下的系统运动相图 由图分析可得在任意的初始扰动下都使系统的运动逐渐趋于一个极限环上，该极限环始终存在并且稳定，输电线舞动的最大幅值由δ决定，因此只要控制参数δ在适当的范围内便可有效减小舞动振幅。 4.定量分析 利用KBM法求解方程的二次近似解如下: 2??εy?(1?δy2)?ω0由?yy?0可得 ?)?y?(1??y2)， f(x,x?f?f?， ??2?yy?1??y2 ??x?x(3.1) 将y?acos?代入上式整理得 f0(a,?)??a(1??a3 4)sin???a3 4sin3? (3.2) (3.3) (3.4) fx?(a,?)??a2sin2? ?(a,?)?1??a2co2s? fx? 再将(3.2)式代入方程 得 ?2y1?(2?y1)?f0(a,?)?2?0A1sin??2?0aB1cos? ??20(3.5) ??δa2???2x1?a3 ??(2?x1)??2A1?a?1?sin3? ?sin??2aB1cos??????4??4??20(3.6) 消除久期项 a?a2 A1?(1?)， B1?0 24 解得 ??a3 y1?32 sin3? 将(3.3)、(3.4)、(3.7)式代入 ?y2f1dA1?1(a,?)?y1fx?(a,?)?(A1cos???0??)fx? ?(a,?)?Ay1 1dacos??2?0A1?a??再将(3.8)式代入 ?2?2y2 (?2? ?y2)?f1(a,?)?2?0A2sin??2?0aB2cos? 得 ?2 ?2y2a2 724?0 (?2??y2)?2A2sin?????2aB2?4(1??a?32?a)?? cos?? ?2a3(?a2?8) 128 cos3?? 5128a5 cos5? 消除久期项 A?0， B17 22??8(1??a2?32 ?2a4) 解得 y5a5?2a3(?a2?8) 2??3072cos5??1024 cos3? 于是方程的二次近似解为 ?acos????a3?2a3? 2 5a2 y?32sin3??1024??(a?8)cos3??3cos5??? 由a ???A1??A2可得 a???a?? a2? 2??1?4??? 对上式进行整理积分后得到 (3.7) (3.8) (3.9) (3.10) 3.11) 3.12) 3.13) ((( a?2 ?????4???t???e2??a0? (3.14) 设振幅保持稳态值a0且a0?0，则当t??时lima?t??2 由(3.14)式可知，给任意a0(a0?0)的值都使a随时间的增大而逐渐趋向于一个极限值2/，这进一步说明了定性分析中极限环的结论，即极限环是存在并稳定的。 输电线的舞动幅度与空气流速、系统阻尼和质量等诸因素有关，其中空气流速?0 高，将会助长舞动的振幅值增大，这是最直接最剧烈的因素; 阻尼系数的增大有利于抑制舞动的振幅，因此在输电线上安装各种类型的阻尼器以增强阻尼作用可消除舞动现象;适当增大系统的质量，也会抑制舞动幅度增大，故在实际应用中，采用集中防震锤来抑制舞动。 5.结论 本文所做工作如下:把输电导线的横向驰振模型进行简化，代换参数化简变形，使之成为更简洁更易分析的范德波尔方程。然后通过定性分析地讨论，获知奇点类型、极限环存在稳定性及周期解的稳定性等问题。通过定量分析，解出数值解，分析各参数对振动的影响。 本文模型中分析了输电线舞动中的垂向振动，这种振动可产生大振幅而造成事故，属于自激振动范畴。但是在一些实例中，输电线的舞动为垂向、横向、和扭转振动的耦合振动。这种情况下的模型十分复杂，且影响因素过多不易分析，故本文没有分析。 参考文献 [1]黄润生，黄浩. 混沌及其应用[M]. 武汉大学出版社.2000. [2]刘延柱，陈立群. 非线性动力学[M]. 上海交通大学出版社.2000. [3]刘延柱，陈立群. 非线性振动[M]. 高等教育出版社.2001. [4]丁文镜. 工程中的自激振动[M]. 吉林教育出版社.1988.