2013数学竞赛预赛试题及答案

2013数学竞赛预赛试题及答案 2013年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 一、选择题(共6小题，每小题6分，共36分) 以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分) 1(若有理数a、b 满足 ，则ab等于【 】 (1)7()0aab，，，, ,1(A) (B)1 (C)0 (D)无法确定 【答】A( 解:因为a、b都是有理数，且，所以a，,10,且ab，,0，(1)7()0aab，，，, 得，所以ab,,1( ab,,,1,1 6 7 2. 如图，由7个小正方形组成的平面图形折叠(相邻的 4 5两个面垂直)成正方体后，重叠的两个面所标数字是【 】 1 2 3(A)1和7 (B)1和6 (C)2和7 (D)2和6 第2题图 【答】B( 解:若将图中标有1的面去掉，则标有2、3、4、5、6、7的六个面恰好是正方体的一种展开图，其中标有3和6的面是对面;只看题图最下面一行，标有3和1的面应是对面，所以重叠的两个面是标有1和6的面，应选B( 3. 如图，在四边形ABCD中，AD?BC， BD平分?ABC交AC于点O，AE平分 ,?CAD交BD于点E，?ABC=，?ACB=，给出下列结论: ,AD1ADAO1,,,，,()??DAE=;?;??AEB=; 2CBCO2EO??ACD=180():,，,,(其中一定正确的有 BC【 】 第3题图 A)4个 (B)3个 ( (C)2个 (D)1个 【答】B( 111，,，,,解:(1)?AD?BC，??DAE=DACACB，??正确; 222 ADAO,(2)?AD?BC，??AOD??COB，?，??正确; CBCO 1,,，()(3)?AEB=?DAE+?ADB=?DAE +?CBD=，??正确; 2 180():,，,,180():,，,,(4)??BAC=，只有当AB?DC时，?ACD=才 第1页(共6页) 能成立(??不正确. 综上，应选B. 4(如图，直线l、l相交于点， l、l 与x轴分别交于点和A(3,2)B(1,0)1212 ，则当时，自变量x的取值范围是【 】 C(2,0),y,y,0l211 y 1 ly AAA l2 (A)x,,2 (B)x,1 C B O x ykxb,，222 y,kx，b111第4题图 阿 A l2 (C)13,,x (D),,,23x 【答】C( C B O x ykxb,，解:由图象可知当时，x,3， y,y22221 y,kx，b111x,1当时，，所以当时， y,0y,y,0121 第4题图 13,,x. 故应选C( 5(关于x的不等式axax，,，33的解集为x,,3，则a应满足【 】 a,1a,1(A) (B) (C)a?1 (D)a?1 【答】B( axax，,，33x,,3 解:由，得(1)(3)0ax,，,，由不等式的解集为，知x，,30a,,10a,1，所以，得(故应选B( 6(如图的象棋盘中，“卒”从A点走到B点，最短路 径共有【 】 (A)14条 (B)15条 (C)20条 (D)35条 【答】D( 第6题图 解:如右图，从点A出发，每次向上或向右走一 B35142010步，到达每一点的最短路径条数如图中所标数字，如: 到达点P、Q的最短路径条数分别为2和3. 以此类推， 1153610到达点B的最短路径条数为35条. 选D. Q5234P1 1A111 二、填空题(共6小题，每小题6分，共36分) 3,,27(计算: ( 2 y2k1,【答】( 32y=x 2k1,,22y=解:原式= 11.,,,x,,k2,,22y=,,x Oxkk21,y8(如图是三个反比例函数，， y,xx第8题图 k3kkk在x轴上方的图象，则、、的大小关系为 ( y,123x 第2页(共6页) 【答】( k,k,k321 解:由图象可知为负数，、为正数，不妨取x=1，代入解析式，显然kkk123 点在点的正下方，所以，又为负数，所以( kk,k,kAk(1,)Bk(1,)kk,,013212332 9(有6个小球，其中黑色、红色、绿色各2个，它们除颜色外其它都一样，将它们放入一个不透明的袋子中，充分摇匀后，从中随机摸出2个球，摸出的球颜色一样的概率是 ( 1【答】( 5 211解:摸出的2个球都是黑球的概率是，,，所以摸出的球颜色一样的6515 11概率是. ，,3155 10(如图，点C是线段AB上一个动点， ?A=?B=30?，?ADC=?BEC=90?，若 AB=8cm，则CD+CE= cm( 【答】4( 1DC,AC解:在Rt?ADC中，?A=30?，得，2 1111EC,BCDC，EC,AC，BC,AB,4同理,所以( cm)( 2222 2211(关于x的方程的两实数根之积等于，mm,，72xmxm，,，，,(1)20 则的值是 ( m，8 【答】4( 2解:由题意得，解得，当时，原方程mmm，,,，272mm,,0,8m,0121无实数根，当时，原方程有两个不相等的实数根，所以. m,8m，,,81642 11111111111111,,,,,,,，，，,,,，，，，,,,，,，，，,,,，，12(计算: ,,,,,,,45667134567034567145,,,,,,, 11,，，,,,，, . ,6670, 1【答】( 2013 1111,,,,,,1111解:令，则原式=× ，a,，，aa，a，，，,,,，,a,,,,,,45667036713671,,,,,, 11111122aaa，，，,,,aaa==. 2013367132013671 三、解答题(第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分) 13(某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队，已知6人一列少2 第3页(共6页) 人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工 至少有几人, 【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y人，6人、5人、4人一列分 yabc,,,，,62524别可以整排a、b、c列，则((a、b、c是正整数) 6252,ab,,，?,? ??????????????????????????????????????????????????????????????4分 ,624.ac,,?, 62312(1)aaaa,,，,由?，得 c,,,.422 am,,12,am,，21,因为c为正整数，可令 所以(m是正整数) ? 6(21)252.mb，,,，将?代入?，得 122102(1)mmm，，，? ???????????????????????????????????????????????????????????????7分 b,,.55 mn，,15,mn,,51,因为b为正整数，可令 所以(n是正整数) ? ann,,，,,2(51)1101.将?代入?，得 ?????????????????????????????????????????????? 11分 yann,,,,,,,626(101)2608.? (n是正整数). 当n=1时，y有最小值52. 即参加比赛列队的至少有52人. ??????????? 14分 14(如图，在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E(A、B两点除 外)，过E、B、C三点的圆与BD相交于点H，与正方形ABCD的外角平分线相 G交于点F，与CD相交于点G( CD (1)求证:四边形EFCH是正方形; H(2)设BE=x，?CGH的面积是y， 求y与x的函数解析式，并求y的最大值( F【答案】(1)? E、B、C、H、F在同 A一圆上，且?EBC=90?， EB? ?EHC=90?，?EFC=90?( ???????????????????????????????????????????????????????????????2分 又 ?FBC=?HBC=45?，? CF= CH( ?????????????????????????????????????????????????4分 ? ?HBF +?HCF=180?，??HCF=90?( ???????????????????????????????????????6分 ? 四边形EFCH是正方形( ?????????????????????????????????????????????????????????????????8分 (2)? ?GHB +?GCB=180?， ? ?GHB=90?，由(1)知?CHE=90?， ? ?CHG +?CHB=?EHB+?CHB( ? ?CHG =?EHB( DCCGx,,,1? CG=BE=x， ?DG=( ???????????????????????????????????????? 12分 11DGx,,(1).? ?CGH 中，CG边上是高为 22 第4页(共6页) 211111,,yxxx,,,,,,，(1).? ??????????????????????????????????????????????? 15分 ,,224216,, 11当x=时，y有最大值( ??????????????????????????????????????????????????????????????? 16分 216 15. 数学活动课上，李老师出示了问题:已知～如图?～在?ABC中～?BAC=45?～AB=AC～AD?BC～垂足为D～设BD=a～用含有a的式子 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示AD的长. AA F ECBBDDC 图?图? 经过思考和探讨，小明展示了一种解题思路:如图?，作?DAE=45?，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CF?AE于点F(通过证明?ABD??ACF，得到CF=a，进而推出CE=，所以AD=DE=CD+CE= 2aaaa，,，2(12). 在此基础上，李老师又提出了如下问题: 已知?ABC中～?BAC=45?～AB,AC～AD是BC边上的高～设BD=a～CD=b～求AD的长. 请你画图并解答这个问题( 【答案】(1)当?ACB为直角时，?ABC为直角三角形～b=0，AD=AC=BD=a( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分 (2)当?ACB为锐角时，如图?，作?DAE=45?，AE和BC的延长线相交于点E，过点C作CF?AE于点F(则?CEF和?ADE都是等腰直角三角形. ADDEx,,CFEFm,,设，. 则. ?. ???4分 AEx,2AFxm,,2 A? ?FAC+?CAD =45?，?DAB+?CAD =45?， ? ?FAC =?DAB. 又 ??AFC =?ADB=90?， F ??FAC??DAB. ……………………6分 BEDFAFCC2xmm,,.? 即 ,.图?DADBxa 2ax22axax解得 ?.????????????????????????????8分 m,.CEEF,,,,22xa，xaxa，， 第5页(共6页) 2ax?, ?. ???????????????????????????????????? 10分 CECDDEAD，,,，,bxxa， 2整理得 . xabxab,，,,()0 2222ababab，，，，6ababab，,，，6解得(舍去). x,,x,1222 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分 (3)当?ACB为钝角时，如图?，作?DAE=45?，AE和BC的延长线相交 于点E，过点C作CF?AE于点F(与(1)中的求法类似，可设ADDEx,,， 2axCFEFm,,，则.同(1)中的理由，得?FAC??DAB ，CE,. AFxm,,2xa， 2ax?ADDECECD,,,, ?xb,,. ????????????????????????????????????????? 16分 xa，A 2整理，得 ， xabxab,,，,()0F 22ababab,,，,6E解得…17分 Bx,.DC2图? 2222ababab，，，，6ababab,，，,6综上，AD的长为a 或或或 22 22ababab,,，,6( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 18分 2 第6页(共6页)