五年级_奥数疑难题集(1)平均数、行程问题等(新)

五年级_奥数疑难题集(1)平均数、行程问题等(新) 奥数疑难题集,1,——平均数、行程问题 1、 甲乙丙丁四人拿出同样多的钱，合伙订购同样规格的若干件货物，货物买来后，甲、乙、 丙分别比丁多难了3、7、14件货物，最后结算时，乙付给了丁14元，那么丙应该给丁 多少元, 解:70～与四人平分货物相比～丁少拿了,3+7+14,?4=6件～甲少拿了6-3=3件～乙多拿了7-6=1件。所以丙应该再给丁6-1=5件的钱～还有3件的钱给家～丙应该给丁5×14=70元。 2、 学校统计9名参加数学竞赛同学的平均成绩，如果计算前五名同学的平均分，则比前四 名的平均分下降1分;如果计算后五名的平均分，则比后四名的平均分上升2分，前四 名的平均分比后四名的平均分多多少分, 解:15分。提示:第5名同学的分数比前四名同学的平均分低5分～比后四名同学的平均分高10分。 3、 六(1)班和六(2)班的部分同学参加某次数学竞赛，六(1)班男生平均成绩是71分， 女生平均成绩是76分，全班平均沉寂是74分;六(2)班男生平均成绩是81分，女生 平均成绩是90分，全班同学的平均成绩是84分。又知两个班所有男生的平均成绩是79 分。那么两个班所有女生的平均成绩是多少分, 解:84分。设六,1,班的男生为a人～女生为b人,六,2,班的男生为C人～女生为d人。则～71a+76b=74(a+b); 81c+90d=84(c+d) 71a+81c=79(a+c) 可以得到2b=3a;c=2d;c=4a,得2d=4a. 两个班女生的平均成绩为,76b+90d,?(b+d)=84分。 5、南北两镇之间全是山路，某人上山每小时走2千米，下山时每小时走5千米，从南镇到北镇要38小时，从北镇到南镇要32小时，从南镇到北镇的上山路是多少千米, 分析: 解法一: 假设去时全为上山～则返回时全为下山～全程看作单位1～则 从南镇到北镇的路程是,38，32,?,1/2，1/5,,100千米。 上坡路比下坡路多,38,32,?,1/2,1/5,,20千米。 所以上山路有,100，20,?2,60千米。 解法二: 假设去时全为上山～则返回时全为下山 上山与下山的时间比为:5:2 则往返中上山时间为:,32+38,* ,5/,5+2,,= 50 小时 则往返中上山路程,即全程,为 : 50*2=100千米 假设从南到北全为上山～则100 - 38*2 = 24千米 ……比实际多的路程 24/,5-2,= 8 小时 ……实际下山的时间 所以:从南到北上山的路程为: ,38-8,* 2 = 60千米 6、甲、乙两地之间只有上坡路和下坡路，没有平路，小华的爸爸开车从甲地到乙地要2.6小时，乙地返回甲地要2.2小时，已知汽车上坡每小时行30km，下坡每小时行50km.问:甲、乙两地间的公路长是多少千米, 解法三: 假设去时全为上坡～返回时全为下坡～则 2.2*50-2.6*30 = 32 千米 ……下坡比上坡多行的路程 32/,50-30,= 8/5小时 ……实际去时下坡与返回时上坡时间 由于路程相等～则上下坡速度与时间成反比～即上坡与下坡时间比为:50/30=5/3 所以: 8/5 *,5/,5+3,,= 1小时 ……返回时上坡时间 8/5 *,3/,5+3,,= 0.6小时 ……去时下坡时间 所以: ,2.6-0.6,* 30+0.6*50 = 90千米 ……全程 或者: 1* 30 + ,2.2-1,*50 = 90千米 7、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行。如果两人按一定速度前进，则四小时相遇;如果两人各自比原计划每小时少走一千米，5小时相遇，那么A、B的距离是多少, 解:40千米。 原来两人每小时合行全程的1/4 后来两人每小时合行全程的1/5 后来两人每小时共少行1×2=2千米 这两地之间的距离是2?,1/4-1/5,=40千米 9、狗和猫赛跑，狗3步的距离等于猫5步的距离。猫4步的时间等于狗7步的时间。猫1470步跑到终点。这时狗还差多少步跑到终点, 解:42步。 设狗一步为5米～则猫一步为3×5?5=3米。 设够4步时间为1分～则猫7步时间为1分。 狗的速度为5×4=20米/分。猫为3×7=21米/分。 猫跑的距离为1470×3=4410米,时间为4410?21=210分。 这段时间狗要跑210×20==4200米。则猫比狗多跑了4410-4200=210米。 还差210?5=42步。 10、某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分。那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多______分。 答案:10.5分 分析:以原一等奖后四名的平均分作为标准。 那四名同学加入二等奖后～二等奖的平均分提高了一分～这一分都是那四名同学“给”的～所以那四名同学给出了20×1=20分～那么～这四人的平均分降低了20?4=5分。也就是四人的平均分降低5分～而后20人的平均分提高1分后分数相等。所以那四人的平均分比后20人的平均分高6分。同理:那四人撤出后～前6名的平均分增加了3分～也就是增加了18分～这18分是从那四个人那里“拿”出来的～那四个人的平均分得到18分后增加了18?4=4.5分。也就是原一等奖的平均分比这四人的平均分高4.5分。 而这四人的平均分又比原二等奖平均分高6分～所以原一等奖平均分比二等奖平均分高10.5分。 11、一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车, 答案:5分钟。 间隔距离=,V-V,×6,米,～ 汽人 间隔距离=,V-V,×10,米,～ 汽自 V=3V。 自人 综合上面的三个式子～可得:V=6V～即V=1/6V～则: 汽人人汽 间隔距离=,V-1/6V,×6=5V,米, 汽汽汽 所以～汽车的发车时间间隔就等于: 间隔距离?V=5V,米,?V,米/分钟,=5,分钟,。 汽汽汽 用上一题方法也可～即V-V=1/10,V-V=1/6～而V=3V～因此～2V=1/6-1/10=1/15～车骑车步骑人步即V=1/30～由此得V=1/6+1/30=1/5 人车 因此～发车间隔时间为1?1/5=5,分钟, 13、旅游车从甲地到乙地要行288千米，开始汽车以每小时24千米的速度行驶，途中遇事耽误了2小时，为按要求到达乙地，汽车必须把以后的速度每小时增加12千米。问遇事地点距甲地多少千米, 解:144千米。288?24=12小时 设汽车行X小时后遇事。24X+,24+12,*,12-2-X,=288 解得X=6小时。6×24=144千米。 14、已知直角三角形的两条直角边长分别是21和28，求这个三角形内最大的正方形的边长。 解:12. 设这个最大正方形的边长为X～则直角三角形的面积等于正方形的面积加上两个三角形的面 2积。21×28?2=X+,21-X,X?2+,28-X,X?2 15、有一个首位 为1的六位数，如果把首位数从最左移到最右，其余5个数的顺序不变，则新数是原来数的3倍。由此可知原数是多少, 解:142857. 设这个数的后五位数是X～则10X+1=,100000+X,*3 解得X=42857～所以原数是142857 16、如图，?ABC为直角三角形，四边形BEFD为正方形，已知AB、BC的长度分别是12厘米和20 厘米。则正方形的面积是多少平方厘米, 解:56.25平方厘米。连接BF， ?ABC的面积是12×20?2=120平方厘米 ?ABF和?BCF的面积和120平方平方厘米 因为DF=EF，则EF=120×2?(12+20)=7.5厘米 正方形面积是7.5×7.5=56.25平方厘米。 方法二～方程。 2设正方形的边长为X～则正方形的面积为X,. 而?ABC面积等于正方形BEFD的面积与?ADF、?EFC的面积和。所以有方程式: 2X+X,12-X,?2+X,20-X,?2=20×12?2 解方程～X=7.5 17、4辆汽车分别停在一个大十字路口的4条岔路上，与路口的距离都是18千米。它们的最大时速分别为40千米，50千米，60千米，70千米。现在4辆汽车同时出发沿着公路行驶，那么最少要经过多少分钟，它们才能设法相聚在同一地点(不一定是路口) 【分析】汽车可以不以最大时速行驶～为使得时间最少～先考虑速度最小的两辆车应经过多少时间如何相遇～再检验另两辆车能否同时到达。任何两车沿着公路计算里程均相距18+18=36千米～较慢两车的速度之和为40+50=90千米～它们相遇需要36?90=0.4h=24min。可知相遇地点不在路口～较快两车所行驶里程与时速为50千米的汽车一样～因此24分钟可实现4车相遇。 最少需要时速40和时速50的相遇 也就是时速50的车到路口后,不停,迎向时速40的车,不考虑转弯减速～ 距离:18+18=36 速度和:40+50=90 时间:36?90=0.4小时 0.4小时=24分钟 18(甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米。甲车原来每小时行多少千米,(第13届迎春杯决赛试题) 19、甲每分钟走80千米，乙每分钟走60千米。两人在A,B两地同时出发相向而行在E相遇，如果甲在途中休息7分钟，则两人在F地相遇，已知为C为AB中点，而EC=FC，那么AB两地相距多少千米,(05年9月中关村一小六年级奥数班选拔题) 20、 A、B两地相距4800米，甲住在A地，乙和丙住在B地。有一天他们同时出发，乙、丙向A第前进，而甲向B地前进。甲和乙相遇后，乙立即返身行进，10分钟后又与并相遇。第二天他们又是同时出发，只是甲行进的方向与第一天相反，但三人的速度没有改变。乙追上甲后又立即返身行进，结果20分钟后与 丙相遇。已知甲每分钟走40米，求丙的速度。(99年华校入学试题) 21. (93年全国小学数学竞赛决赛试题)甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次, 【分析】 10分钟两人共跑了,3，2,×60×10=3000米。3000?100=30个全程。我们知道两人同时从两地相向而行～他们总是在奇数个全程时相遇,不包括追上,1～3～5～7……29共15次。 22. 甲、乙两地之间有一条公路，李明从甲地出发步行到乙地去，同时张平从乙地出发骑摩托车到甲地去。80分钟后两人在途中相遇，张平到达甲地后马上折回乙地，在第一次相遇后20分钟时追上李明。张平到达乙地后又马上折回甲地，这样一直下去。当李明到达乙地时，张平追上李明的次数是多少, 23. 甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶。甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米。一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头;一旦甲车从后面追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离有多少米,(2000年华校入学试题) 24(如图3-5,正方形ABCD是一条环形公路(已知汽车在AB上时速是90千米，在BC上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米,在DA上的时速是80千米(从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB中点相遇(如果从PC的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB上一点N相遇(问A至N的距离除以N至B的距离所得到的商是多少? 【分析与解】 如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD的边长为单位“1”. 有甲从P到达AB中点O所需时间为 PDDAAOPD10.5，，. ,，，608090608090 乙从P到达AB中点O所需时间为 PCBCBOPD10.5，，. ,，，60120906012090 有甲、乙同时从P点出发,则在AB的中点O相遇,所以有: PD1PC1= ，，608060120 11,PCPC15且有PD=DC-PC=1-PC,代入有,解得PC=. ,，，8601206080 53 所以PM=MC=,DP=. 816 现在甲、乙同时从PC的中点出发,相遇在N点,设AN的距离为. x 35，MDDAAN1x816 有甲从M到达N点所需时间为; ，，,，，608090608090 5 MCCBBN11,x16乙从M到达N点所需时间为，，. ,，，60120906012090 355，1x11,x1181616有，解得.即AN=. ，，,，，x,60809032601209032 1311所以AN?BN ,,,313232 25.如图3-6，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A，B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点.甲8时20分到D点后,丙、丁两人立即以相同速度从D点出发.丙由D向A走去,8时24分与乙在E点相遇;丁由D向C走去，8时30分在F点被乙追上.问三角形BEF的面积为多少平方米? 【分析与解】 如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置( 先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD的路程;再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，乙14分钟行走了60+AE的路程，乙20分钟走了60+AD+DF的路程(所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF的路程( ADDF,，60,ADAE60，60，DF,有，有 ,,,7560AEEDAE,,，，，，，101014,, 然后分析丙的情况,丙4分钟,行了走ED的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF的距离( EDDF, 有，即5ED,2DF( 410 ADAEEDDF,，,，60,AE,87, ,, 联立，解得 7560AEEDAE，,，ED,18，，，，,, ,,DF,4552EDDF,,, 于是,得到如下的位置关系: 1 -=×60SS,SSS,,608718，，,，，BEFABEEDFFCB四边形ABCD2 11×87,，，，,1587182497.5(平方米) ，，,1845，，22 26(一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行。14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开。14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。问:工人与学生将在何时相遇,(迎春杯第2届决赛试题) 27、从0，l，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少? 【分析与解】 因为[3，5，7，13]=1365，在100000之内最大的1365的倍数为99645(100000?1365=73„„355，100000-355=99645)，有99645-1365=98280，98280-1365=96915(96915-1365=95550(95550-1365=94185( 所以，满足题意的5位数最大为94185( 28. 已知四十一位数55„5口99„9(其中5和9各有20个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少? 【分析与解】 我们知道这样的六位数一定能整除7、11、13; abcabc 下面就可用这个性质来试着求解: 由上知的末6位数999999必定整除7; 55559999 205个209个 有=×1000000+999999;于是5555999955559999 205个209个205个149个 只用考察: ×1000000，又因为1000000，7互质，所以1000000对整55559999 205个149个 除7没有影响，所以要求一定是7的倍数( 55559999 205个149个 注意到，实际上我们已经将末尾的6个9除去; 这样，我们将数字9、5均6个一组除去，最后剩下的数为55口99，即 (2036)5,，个(2036)9,，个55口99( 我们只用计算55口99当“口”取何值时能被7整除，有口为6时满足. abcabcabcabc评注:对于含有类似的多位数，考察其整除7、11、13情况时，可 nabcabc个 以将一组一组的除去，直接考察剩下的数( abcabc