概率统计在实际生活中的应用

概率统计在实际生活中的应用 类别:中学数学 编号: 摘要:本文介绍了概率统计的相关知识在实际生活中的应用，主要围绕古典概型，全概公式，二项分布，数学期望等知识，讨论概率统计知识在实际生活中的广泛应用，进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系，为应用概率知识解决实际问题，数学模型的建立，学科知识的迁移奠定一定的理论基础。 关键词:古典概型;二项分布;数学期望 一、 古典概型的应用 古典概率是概率里最早的一种最简单的概率模型，也是应用最广泛的概率。许多问题都可以将其转化为古典概率加以解决。 古典概率具备以下基本性质: 01,,PA(1)非负性 ，， P,,1(2)正规性 ，， P,,0(3) ，， AAA？(4)有限可加性 设事件互斥，则 12，，m PAAAPAPAPA,,,,，，，？？ ，，，，，，，，1212mm 100例1 只外型一样的同型号三极管中，按电流放大系数分类， 4060有只属于一类，只属于二类。问在下述两种抽样方式之下，“从100只中抽出两只都是二类管”的概率是多少 , (1)有放回抽样:每次取出一只，测试后放回，然后再随机地 抽取下一只。 (2)不放回抽样:每次抽样测试后不放回，在余下的三极管中随机地抽取下一只。 100解 以表示“从只中抽出两只都是二类管”这一事件。 E 100(1)由于抽样是有放回的，故每次都是从同样的只三极管中 22100抽取的，因此，从只中抽出两只共有种取法，即。而100n,100 60抽出两只都是二类管，则相当于这两只管是在只二类管中作有放回 2260的抽样而得到的，其可能取法共有种，即，所以 m,60 2m60 PE,,,0.360，，2n100 100(2)由于抽样是不放回的，故第一次抽样是从只中抽取，第 99二次是从余下的只中抽取。故所有可能的取法总数为 2 nA,,，10099100 60 抽出两只都是二类管，相当于在只二类管中作不放回抽样，所以 2 mA,,，605960 2Am6059，60 PE,,,,0.358，，2nA10099，100 这和有放回抽样结果相差不大，由此可以得出结论:有放回抽样和不放回抽样结果是不一样的;当被抽样的总体容量较大(相对于抽样数而言)时，在有放回抽样和不放回抽样的条件下算出的概率相差很小。 类似的利用古典概率求解的问题还有很多，比如博彩，赛制等。 在利用古典概率求解实际问题时，并不是这么容易，许多问题的计算有相当的困难，并且具有一定的技巧性，计算要点是找准 样本 保单样本pdf木马病毒样本下载上虞风机样本下载直线导轨样本下载电脑病毒样本下载 点。 二、二项分布的应用 定义 设一个试验有两个可能的结果与，并且AEA PApp,,,01，PA,，将这个试验独立地重复次，构np,q1,，，，，，， nn成一个试验，记作E，称这样的试验E为重贝努里(Bernoulli)n 试验，在此试验中，若设每一次试验中PApp,,,01，为次试nX，，，， 验中出现的次数，则是一个离散型随机变量，它的可能值集合是AX 0,1,2,,？n。所以，有 ,, kkn,kknqp,,,0,1,,1？， ，，p,PX,k,Cpq，，kn XBnp~,称服从参数为的二项分布，记作。显然: np,X，， (1)pkn,,0,0,1,2,,？ k nnn,kknk(2) pCpqpq,,，,1，，,,kn00,,kk N例2 设一批产品共有个，其中个次品，现在每次从这批产M nn品中随机地抽出一件来检查，检查后放回，共取次，试求在次检 kp查中有次是次品的概率。 k 解 把每次抽取一件产品检查看作是一贝努里试验，且每次抽得 M次品的概率为. N M,,n若以记次抽样中的次品数，则XBn~,.因此所求概率为 X,,N,, knk,MM,,,,k ， kn,0,1,2,,？1,,,PXkC，，,,,,nNN,,,, 50.8例3 一位射手打靶，命中率为。在次打靶中他命中的次数 其分布列为 XB~5,0.8，， kkk5, ， PXkC,,0.80.2k,0,1,,5？，，5 由此可以计算有关事件的概率。 5(1)该射手次打靶全都命中的概率为 5 PX,,,50.80.3277，， (2)至少命中次的概率为 4 PXPXPX,,,，,445 ，，，，，， 4 ,，，，,50.80.20.32770.7373 3(3)命中次数不多于次的概率为 PXPX,,,,314 ，，，， ,,,10.73730.2627 三、 数学期望的应用 一、离散型随机变量的数学期望 定义 设为离散型随机变量，其分布列为 X ，， PX,x,p,i,1,2,？ii 若 , xp,, ,ii1i, 则记 , EX,xpii,1i, 称为的数学期望，简称期望或均值。 XEX 例5 (二项分布)设，其分布列为 XBnp~,，， kkn,kk,0,1,？,n ， ，，p,PX,k,Cpqkn 其中，则 p，q,1 nnn,!knkkn,kkn,k ,,,,EXkpkCpqpqkn,,,，，!,!knk000k,k,k, nn,，，1!k,1n,1,k,1，，，，,nppq,k,n,k，，，，1!!k,1 n,1，，kkn,1,k ,npCpqn,1,k,0 n,1，，,npp，q,np 二、连续型随机变量的数学期望 定义 设为具有密度函数的随机变量，若 ，，pxX ,，，xpxdx,, ,-, 则记 ,，，EX,xpxdx ,,, 称为的数学期望，简称期望或均值。 EXX 2XN~,,, 例6 (正态分布)设，密度函数为 ，， 2x,,，，,122,pxe, ，，， x,,,,,，，2,, 则 2,，，x,,,,122,，，EX,xpxdx,xedx ,,,,,,2,, 2z,,,1x,,,2,,令,z，edzz,，，,,,,-,,2,, 2z,,,2,edz,,,,,2, 三、一般随机变量的数学期望 定义 设随机变量的分布函数，如果 ，，FxX , ，， xdFx,,,-, 则称 ,，， xdFx,-, 为随机变量的数学期望，记为. XEX 四、数学期望在求最大利润问题中的应用 例7 某商店经营某种化工原料，有资料表明这种原料的市场需求量是上的均匀分布(单位:吨)。若每出售1吨该原料,,100，200X 商店可获利1千元，若积压1吨则要损失0.5千元。问该商店应进货多少才能使收益最大, 100,c,200解 该商店进货吨，则显然应有。设该商店在进货吨cc的条件下获利千元，这时是需求量的函数。由题设条件知 YYX c,若X,c,Y,gx, ，，,，，X,0.5c,X,若X,c, c按题意要求找出能使达到最大的值。为此先求。 EYEY ，， ,, EY,EgX ,,gxfxdx，，，，,,, 2001,gxdx ，，,100100 200c1,，,,cdxxcxdx0.5，，，，,,，，,,c100100 200c1,，,cdxxcdx1.50.5，，,,,,c100100 2,,c12,,，,，ccc200750050,,1004,, 12 ,,，,34007500cc，，400 4001这表明是的二次函数，所以当吨时商品的平均获cc,,133EY33 利达到最大。 EY 参考文献 [1]吴传志.应用概率统计[M].重庆:重庆大学出版社，2004.74-78 [2]曹玲.结合生活实际 提高学习兴趣——从古典概型的讲授中谈教 学方法[J].徐州教育学院学报，2008年03期 [3]张芳.日常生活中概率的应用[J].山西财经大学学报(高等教育版)，2007年1期 [4]郑长波.生活中概率问题举例[J].沈阳师范大学学报(自然科学版)，2007年04期 [5]李志军.概率在生活中的应用举例[J].科技信息，2009年15期 [6]白瑞云.我们身边的概率问题[J].商场现代化，2006年01期 [7]王仲海.概率统计思想在现实中的应用研究[J].科技风，2009，02期 [8]王丽.概率在实际生活中的应用[J].考试周刊，2009,04期