横看成岭侧成峰 远近高低各不同
横看成岭侧成峰 远近高低各不同,教学天地,
庞永江 约4106字
【摘要】 高三数学复习课教学中,就如何开发学生的创新思维,培养学生的创新能力,本文提出了教师应结合数学的学科特征,引导学生探索“名题新解”､“一题多解”､“一题多变”､“一题多思”的教学策略.
【关键词】 复习课;创新思维;创新能力;一题多解 ;一题多变;一题多思
布鲁纳指出,“探索是教学的生命线”. 勇于探索的精神和能力是数学创造思维能力的前提和基础.“数学作为文化的一部分,其根本的特征是表达了一种探索精神”. 教师应充分发挥数学的学科特征,引导学生探索“名题新解”,让“名题”焕发生机;引导学生探索一题多解,让问题由点连成线;引导学生探索一题多变,让问题由线构成面,最终使学生的创新思维得以开发,创新能力得以培养. 基于上述理念,我以2008年的一道高考题为例,借题发挥,探索一题多解､一题多变的价值,以期培养学生学会多层次､广视角､全方位地认识数学问题,既巩固已学知识,又使学生不断获取“独创”成果,将学生带入新的领域. 本文拟在这一方面作一些有益的尝试.
一､引入名题
例1 (2008年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷理工农医类第4题)已知函数y = +的最大值为M,最小值为m,则 的值为 ().
A.B.C.D.
二､一题多解
绝大多数的同学很快就做出了答案,我看了一下除个别同学之外都采用了与参考答案一致的方法——导数,解法如下:
解法1 (利用导数)设f(x) =+,由1 - x ? 0,x + 3 ? 0,解得-3 ? x ? 1.
?f′(x) = - =.令f′(x) = 0得x = -1.
当x?[-3,-1]时,f′(x) > 0,原函数y = f(x)为增函数;当x?[-1,1]时,,f′(x)< 0,原函数y = f(x)为减函数.故M = f(-1) = 2 ,m = f(-3) = f(1) = 2,
? = =,故选C.
点评 利用导数研究函数的单调性､最值很方便,思路清晰,它充分体现了新教材导数的工具的优点.
有人用“创造能力 = 知识量 × 发散思维”这个公式来估计一个人的创造能力. 可见,加强发散思维的训练,是培养学生创造能力的重要方法. 于是,我又不失时机地鼓励学生注意探求一题多解,广阔寻求多种解法,拓宽解题思路,开发创新思维能力. 学生通过相互探讨又提出了以下的解法:
解法2 (利用二次函数)
由1 - x ? 0x + 3 ? 0,解得-3 ? x ? 1.
由y = +,?
两边平方,得y2 = 4 + 2 .
令t = -x2 - 2x + 4,
? -3 ? x ? 1,
? 0 ? t ? 4,?4 ? y2 ? 8.
又? y ? 0,? 2 ? y ? 2 ,M = 2 ,m = 2,?==,故选C.
点评 考虑到本题不能直接根据函数单调性求出最值,通过两边平方把无理式转化为有理式,然后通过求二次函数在区间上的最值使问题得到解决.
解法3 (利用基本不等式)设 a ? 0,b ? 0,
? a + b ? 0,2ab ? 0,
? a2 + b2 + 2ab ? a2 + b2,即(a + b)2 ? a2 + b2,
? a + b ?,当且仅当a = 0或b = 0时等号成立.
? a2 + b2 ? 2ab ,? 2(a2 + b2 ) ? (a + b)2,
? ? (a + b),当且仅当“a = b”时等号成立.
?? a + b ? .?
(当且仅当“a = b”时等号成立).
?-3 ? x ? 1,? 0,? 0,设a =,b =,根据?得:
? + ?,
即2 ? y ? 2 ,?M = 2 ,m = 2,
? = =,故选C.
点评 利用基本不等式对函数式进行放大或缩小是求函数最值的基本方法.
解法4 (利用构造法)
构造函数f(x) =,x?[0,+?),
任取x1,x2?(0,+?),f(x1) + f(x2) = +.
f-[f(x1) + f(x2)] =
- =
=
? 0,
? [f(x1) + f(x2)] ? f .?
? -3 ? x ? 1,1 - x ? 0,x + 3 ? 0,设x1 = 1 - x,x2 = x + 3,根据?得:
[f(x1) + f(x2)] =?
f==.
? + ? 2 .
又? + ?在[-3,1]上恒成立,且s =,x?[-3,1]是增函数,
? smax = 2,?+ ? 2,
? 2 ? y ? 2 ,? M =2 ,m = 2,
? = =,故选C.
点评 构造函数,利用函数的性质解决问题是函数思想的体现.
解法5 (利用整体代换)
设= m,= n,
则m2 + n2 = 4. ?
m + n - y = 0.?
由1 - x ? 0,x + 3 ? 0,解得-3 ? x ? 1,
? 0 ? m ? 2,0 ? n ? 2.
如图1所示,?表示在[0,2]上的一段圆弧,?表示斜率k = -1的平行直线系.
由图知,当直线经过(0,2),(2,0)时,y有最小值2;当直线与圆弧相切时,y有最大值2 .
? 2 ? m ? 2 ,? M = 2 ,m = 2,
?= =,故选 C.
点评 整体代换法是一种非常重要的数学方法,本例通过整体代换法把无理式转化为有理
式使式子有明显的几何意义.
解法6 (利用换元法)
由1 - x ? 0,x + 3 ? 0,解得-3 ? x ? 1,0 ? ? 2.
设= 2sin α,则x = 1 - 4sin2α(α?0, ) ,
则= = 2cos α,
? y = + = 2sin α + 2cos α = 2 α +.
? 0 ? α ?,? ? α +? ,2 ? 2 sinα + ? 2 ,
? 2 ? y ? 2 ,? M = 2 ,m = 2,
? = =,故选C .
点评 利用-3 ? x ? 1这个条件进行“三角换元” 解法简洁明快,令人拍案叫绝.
解法7 (利用向量工具)
设a =(-1,1),b=( , ),
。
本文档为【横看成岭侧成峰 远近高低各不同】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483