2017-2019高考数学（理）真题分类汇编20不等式选讲理含解析

2017-2019高考数学（理）真题分类汇编20不等式选讲理含解析2017-2019高考数学真题分类汇编专题20不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为，又，故有．所以．（2）因为为正数且，故有=24．所以．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围．【答案】（1）...

2017-2019高考数学真题分类汇编专题20不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为，又，故有．所以．（2）因为为正数且，故有=24．所以．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=1时，．当时，；当时，．所以，不等式的解集为．（2）因为，所以．当，时，．所以，的取值范围是．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设，且．（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或．【答案】（1）；（2）见详解．【解析】（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．所以的最小值为．（2）由于，故由已知，当且仅当，，时等号成立．因此的最小值为．由题设知，解得或．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．4．【2019年高考江苏卷数学】设，解不等式．【答案】．【解析】当x<0时，原不等式可化为，解得x<；当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1．综上，原不等式的解集为．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．5．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．6．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．【答案】（1）图像见解析；（2）的最小值为．【解析】（1）的图像如图所示．（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．8．【2018年高考江苏卷数学】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．【答案】的最小值为4．【解析】由柯西不等式，得．因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，此时，所以的最小值为4．9．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，不等式等价于．①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而．所以的解集为．（2）当时，．所以的解集包含，等价于当时．又在的最小值必为与之一，所以且，得．所以的取值范围为．【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．10．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知．证明：（1）；（2）．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【解析】（1）（2）因为所以，因此．【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．11．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1），当时，无解；当时，由得，，解得；当时，由解得．所以的解集为．（2）由得，而，且当时，．故m的取值范围为．【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．12．【2017年高考江苏卷数学】已知为实数，且证明：【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得，因为，所以，因此．【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则（）（）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2，当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi（i＝1，2，…，n）时，等号成立．本题中，由柯西不等式可得，代入即得结论．1

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