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初三数学圆知识点总结(1)

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初三数学圆知识点总结(1)圆——知识点总结归纳要点归纳一.圆的认识1.圆的定义(1)在一个平面内,线段OA绕它的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径,如右图所示。(2)圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,定点为圆心,定长为圆的半径。说明:圆的位置由圆心确定,圆的大小由半径确定,半径相等的两个圆为等圆。2.圆的有关概念(1)弦:连结圆上任意两点的线段。(如右图中的CD)。(2)直径:经过圆心的弦(如右图中的AB)。直径等于半径的2倍。(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做...

初三数学圆知识点总结(1)
圆——知识点总结归纳要点归纳一.圆的认识1.圆的定义(1)在一个平面内,线段OA绕它的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径,如右图所示。(2)圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,定点为圆心,定长为圆的半径。说明:圆的位置由圆心确定,圆的大小由半径确定,半径相等的两个圆为等圆。2.圆的有关概念(1)弦:连结圆上任意两点的线段。(如右图中的CD)。(2)直径:经过圆心的弦(如右图中的AB)。直径等于半径的2倍。(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧。(如右图中的CD⌢、CAD⌢)其中大于半圆的弧叫做优弧,如CAD⌢,小于半圆的弧叫做劣弧。(4)圆心角:如右图中∠COD就是圆心角。3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦的弦心距相等。(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。4.过三点的圆。(1)定理:不在同一条直线上的三点确定一个圆。(2)三角形的外接圆圆心(外心)是三边垂直平分线的交点。5.垂径定理。垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。推论:(1)①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;③平分弦所对的一条弦的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。(2)圆的两条平行弦所夹的弧相等。6.与圆相关的角(1)与圆相关的角的定义①圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角②圆周角:顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。③弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。(2)与圆相关的角的性质①圆心角的度数等于它所对的弦的度数;②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;③同弧或等弧所对的圆周角相等;④半圆(或直径)所对的圆周角相等;⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角;⑥两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等;⑦圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。二.与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:(1)点在圆外⇔d>r(2)点在圆上⇔d=r(3)点在圆内⇔dr,直线与圆没有交点;(2)直线和圆相切⇔d=r,直线与圆有唯一交点;(3)直线和圆相交⇔dRr;(2)两圆外切⇔d=Rr;(3)两圆相交⇔R−rr​);(5)两圆内含⇔dr​)。(注意:如果为d=0,则两圆为同心圆。)5.两圆连心线的性质(1)相交两圆的连心线,垂直平分公共弦,且平分两条外公切线所夹的角。(注:平分两外公切线所夹的角,通过角平分线的判定“到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上”,很易证明。)(2)相切两圆的连心线必经过切点。(3)相离两圆的连心线平分内公切线的夹角和外公切线的夹角。6.两圆公切线的性质(1)如果两圆有两条外公切线,则两外公切线长相等。(2)如果两圆有两条内公切线,则两内公切线长相等。7.相交弦定理、切割线定理、切线长定理定理图形关系式相交弦定理PA•PB=PC•PD=R2−OP2相交弦定理的推论PA•PB=PC2=PD2=R2−OP2切割线定理PA•PB=PC2=OP2−R2切割线定理的推论PA•PB=PC•PD=OP2−R2切线长定理PA2=PB2=OP2−R2(注:R表示⊙O的半径)8.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;(2)找相似三角形,当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时,通常是由“三点定形法”证三角形相似,其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。9.与圆相关的常用辅助线(1)有弦,可作弦心距;(2)有直径,可作直径所对的圆周角;(3)有切点,可作过切点的半径;(4)两圆相交,可作公共弦;(5)两圆相切,可作公切线;(6)有半圆,可作整圆。记忆口诀:有弦可作弦心距,中心圆心相连;两圆相切公切线,两圆相交公共弦;遇到切点作半径,圆与圆心连心;遇到直径相直角,直角相对点共圆。(注:“心连心”为连心线。)10.圆外切三角形和四边形的性质(1)如右图,△ABC是⊙O的外切三角形,D、E、F为切点,则AD=AF=2ABAC−BD​同理:直角三角形内切圆半径R=2ab−c​。(其中a、b为直角边,c为斜边)(2)圆外切四边形两组对边和相等,即如右图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,则ABCD=ADBC。三.圆中的计算问题1.圆的有关计算(1)圆周长:c=2πR(2)弧长:l=180nπR​;(3)圆面积:S=πR2;(4)扇形面积:S扇形​=21​lR=360nπR2​;(5)弓形面积:S弓形​=S扇形​±SΔ​2.圆柱圆柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的长等于圆柱的底面周长c,宽是圆柱的母线长l,如果圆柱的底面半径是r,则S圆柱侧​=cl=2πrl。3.圆锥圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面周长c,半径等于圆锥母线长l,若圆锥的底面半径为r,这个扇形的圆心角为α,则α=lr​360∘,S圆锥侧​=21​cl=πrl。
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