概率论与数理统计浙江大学第四版盛骤概率论部分2

概率论与数理统计浙江大学第四版盛骤概率论部分2概率论与数理统计第四版浙江大学盛骤概率论部分2第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布关键词：随机变量概率分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量的函数§1随机变量*常见的两类试验结果：示数的——降雨量；候车人数；发生交通事故的次数…示性的——明天天气（晴，多云…）；化验结果（阳性，阴性）…esx离散型的连续型的X=f(e)－－为S上的单值函数，X为实数*中心问题：将试验结果数量化*定义：随试验结果而变的量X为随机变量*常见的两类随机变量§2离散型随机变量及其分布定义：取值可数的随机变量为离散量离散量的概率...

概率论与数理统计第四版浙江大学盛骤概率论部分2第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布关键词：随机变量概率分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量的函数§1随机变量*常见的两类试验结果：示数的——降雨量；候车人数；发生交通事故的次数…示性的——明天天气（晴，多云…）；化验结果（阳性，阴性）…esx离散型的连续型的X=f(e)－－为S上的单值函数，X为实数*中心问题：将试验结果数量化*定义：随试验结果而变的量X为随机变量*常见的两类随机变量§2离散型随机变量及其分布定义：取值可数的随机变量为离散量离散量的概率分布(分布律)样本空间S＝{X=x1，X=x2，…，X=xn，…}由于样本点两两不相容1、写出可能取值－－即写出了样本点2、写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率…………#概率分布例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0 表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3解：设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p，i=1,2,3且A1,A2,A3相互独立。例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为p，0 方案如下：先作第一次检验，从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p．求这批产品能被接受的概率L(p)．L(P)=P(A)解：设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数；则X～b(10,p)，Y～b(5,p)，且{X=i}与{Y=j}独立。A={接受该批}。泊松分布(Poisson分布)若随机变量X的概率分布律为称X服从参数为λ的泊松分布，记例：设某汽车停靠站候车人数(1)求至少有两人候车的概率；(2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。解：§3随机变量的分布函数例：解：pX01qp01q1§4连续型随机变量及其概率密度定义：对于随机变量X的分布函数若存在非负的函数使对于任意实数有：其中称为X的概率密度函数，简称概率密度。则称X为连续型随机变量，与物理学中的质量线密度的定义相类似例：设X的概率密度为(1)求常数c的值；(2)写出X的概率分布函数；(3)要使求k的值。解：几个重要的连续量均匀分布定义：X具有概率密度称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X～U(a,b)例：在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率密度。并求的值；若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有两个数大于0的概率。解：X在区间(-1,2)上均匀分布设10个数中有Y个数大于0，则：指数分布定义：设X的概率密度为其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。记为X具有如下的无记忆性：正态分布定义：设X的概率密度为其中为常数，称X服从参数为的正态分布(Gauss分布)，记为可以验算：称μ为位置参数(决定对称轴位置)σ为尺度参数(决定曲线分散性)X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。当固定μ时，σ越大，曲线的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，∴σ是反映X的取值分散性的一个指标。在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。例：查书后附表例：一批钢材(线材)长度(1)若μ=100，σ=2，求这批钢材长度小于97.8cm的概率；(2)若μ=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间(97,103)内，问σ至多取何值？例：设某地区男子身高(1)从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于175cm的概率；(2)若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？§5随机变量的函数分布问题：已知随机变量X的概率分布，且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。Xpi0.2-1010.50.3例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，若则Y服从什么分布？例：已知X具有概率分布且设Y=X2，求Y的概率分布。解：Y的所有可能取值为0,1即找出(Y=0)的等价事件(X=0)；(Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1)例：设随机变量X具有概率密度求Y=X2的概率密度。解：分别记X,Y的分布函数为Y在区间(0,16)上均匀分布。一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的概率分布的过程为：关键是找出等价事件。例：设Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。X-110pZ01pY-220p解：Y的可能取值为-2,0,2Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)…(Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1)故得：例：xh(y),yy0y=g(x)y例：解：例：解：复习思考题21.什么量被称为随机变量？它与样本空间的关系如何？2.满足什么条件的试验称为“n重贝努里试验”？3.事件A在一次试验中发生的概率为p,0

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