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高考数学中涂色问题的常见解法及策略.doc

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上传者: 追风21 2017-08-12 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《高考数学中涂色问题的常见解法及策略doc》,可适用于高中教育领域,主题内容包含高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变因符等。

高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法、区域涂色问题、根据分步计数原理对各个区域分步涂色这是处理染色问题的基本方法。例、用种不同的颜色给图中标、、、的各部分涂色每部分只涂一种颜色相邻部分涂不同颜色则不同的涂色方法有多少种?分析:先给号区域涂色有种方法再给号涂色有种方法接着给号涂色方法有种由于号与、不相邻因此号有种涂法根据分步计数原理不同的涂色方法有、根据共用了多少种颜色讨论分别计算出各种出各种情形的种数再用加法原理求出不同的涂色方法种数。例、四种不同的颜色涂在如图所示的个区域且相邻两个区域不能同色。分析:依题意只能选用种颜色要分四类:()与同色、与同色则有()与同色、与同色则有()与同色、与同色则有()与同色、与同色则有()与同色、与同色则有所以根据加法原理得涂色方法总数为=例、如图所示一个地区分为个行政区域现给地图着色要求相邻区域不得使用同一颜色现有种颜色可供选择则不同的着方法共有多少种?分析:依题意至少要用种颜色)当先用三种颜色时区域与必须同色)区域与必须同色故有种)当用四种颜色时若区域与同色)则区域与不同色有种若区域与同色则区域与不同色有种故用四种颜色时共有种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有==、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论从某两个不相邻区域同色与不同色入手分别计算出两种情形的种数再用加法原理求出不同涂色方法总数。例用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内每个区域涂一种颜色相邻两个区域涂不同的颜色如果颜色可以反复使用共有多少种不同的涂色方法?分析:可把问题分为三类:()四格涂不同的颜色方法种数为()有且仅两个区域相同的颜色即只有一组对角小方格涂相同的颜色涂法种数为)两组对角小方格分别涂相同的颜色涂法种数为因此所求的涂法种数为、根据相间区使用颜色的种类分类例如图个扇形区域A、B、C、D、E、F现给这个区域着色要求同一区域涂同一种颜色相邻的两个区域不得使用同一种颜色现有种不同的颜色可解()当相间区域A、C、E着同一种颜色时有种着色方法此时B、D、F各有种着色方法此时B、D、F各有种着色方法故有种方法。()当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时有种着色方法此时B、D、F有种着色方法故共有种着色方法。()当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有种着色方法此时B、D、F各有种着色方法。此时共有种方法。故总计有=种方法。说明:关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。如:如图把一个圆分成个扇形每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色要求相邻扇形不同色有多少种染色方法?解:设分成n个扇形时染色方法为种()当n=时、有=种即=()当分成n个扇形如图与不同色与不同色与不同色共有种染色方法但由于与邻所以应排除与同色的情形与同色时可把、看成一个扇形与前个扇形加在一起为个扇形此时有种染色法故有如下递推关系:EMBEDEquationDSMT、点的涂色问题方法有:()可根据共用了多少种颜色分类讨论()根据相对顶点是否同色分类讨论()将空间问题平面化转化成区域涂色问题。例、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色并使同一条棱的两端点异色如果只有种颜色可供使用那么不同的染色方法的总数是多少?解法一:满足题设条件的染色至少要用三种颜色。()若恰用三种颜色可先从五种颜色中任选一种染顶点S再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点此时只能A与C、B与D分别同色故有种方法。()若恰用四种颜色染色可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S再从余下的四种颜色中任选两种染A与B由于A、B颜色可以交换故有种染法再从余下的两种颜色中任选一种染D或C而D与C而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可故有种方法。()若恰用五种颜色染色有种染色法综上所知满足题意的染色方法数为=种。解法二:设想染色按SmdashAmdashBmdashCmdashD的顺序进行对S、A、B染色有种染色方法。由于C点的颜色可能与A同色或不同色这影响到D点颜色的选取方法数故分类讨论:C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)D应与A(C)、S不同色有种选择C与A不同色时C有种选择的颜色D也有种颜色可供选择从而对C、D染色有种染色方法。由乘法原理总的染色方法是解法三:可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:如图对这五个区域用种颜色涂色有多少种不同的涂色方法?解答略。、线段涂色问题对线段涂色问题要注意对各条线段依次涂色主要方法有:)根据共用了多少颜色分类讨论)根据相对线段是否同色分类讨论。例、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边每条边只涂一种颜色 且使相邻两边涂不同的颜色如果颜色可以反复使用共有多少种不同的涂色方法?解法一:()使用四颜色共有种    ()使用三种颜色涂色则必须将一组对边染成同色故有种    ()使用二种颜色时则两组对边必须分别同色有种    因此所求的染色方法数为种解法二:涂色按AB-BC-CD-DA的顺序进行对AB、BC涂色有种涂色方法。由于CD的颜色可能与AB同色或不同色这影响到DA颜色的选取方法数故分类讨论:    当CD与AB同色时这时CD对颜色的选取方法唯一则DA有种颜色可供选择CD与AB不同色时CD有两种可供选择的颜色DA也有两种可供选择的颜色从而对CD、DA涂色有种涂色方法。由乘法原理总的涂色方法数为种    例、用六种颜色给正四面体的每条棱染色要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色问有多少种不同的涂色方法?解:()若恰用三种颜色涂色则每组对棱必须涂同一颜色而这三组间的颜色不同故有种方法。()若恰用四种颜色涂色则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色但组与组之间不同色故有种方法。()若恰用五种颜色涂色则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色故有种方法。()若恰用六种颜色涂色则有种不同的方法。综上满足题意的总的染色方法数为种。、面涂色问题例、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色将一个正方体的个面涂色每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色则不同的涂色方案共有多少种?分析:显然至少需要三种颜色由于有多种不同情况仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论解:根据共用多少种不同的颜色分类讨论()用了六种颜色确定某种颜色所涂面为下底面则上底颜色可有种选择在上、下底已涂好后再确定其余种颜色中的某一种所涂面为左侧面则其余个面有!种涂色方案根据乘法原理()共用五种颜色选定五种颜色有种方法必有两面同色(必为相对面)确定为上、下底面其颜色可有种选择再确定一种颜色为左侧面此时的方法数取决于右侧面的颜色有种选择(前后面可通过翻转交换)()共用四种颜色,仿上分析可得EMBEDEquation()共用三种颜色,例、四棱锥用种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上要求相邻不同色有多少种涂法?解:这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题如右图区域、、、相当于四个侧面区域相当于底面根据共用颜色多少分类:()最少要用种颜色即与同色、与同色此时有种()当用种颜色时与同色、与两组中只能有一组同色此时有故满足题意总的涂色方法总方法交总数为版权所有:(wwwksucom)PDCBABADCSEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTFEDCBAEMBEDEquationDSMT高考资源网(wwwksucom)wwwksucom来源:高考资源网unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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