假设测定III无参数检定方法

社會統計關秉寅補充教材：無參數檢定方法壹、本單元目標1、說明「無參數」（nonparametric）的意義，以及無參數檢定方法適用的情況。2、解釋TheMann-WhitneyUtest(曼－惠特尼Ｕ考驗法）的邏輯，並以例子說明測定的步驟及結果。3、解釋TheRunsTest（連檢定）的邏輯，並以例子說明測定的步驟及結果。貳、簡介本單元要介紹兩種「無參數」之假設測定方法(nonparametrictestsofhypothesis)－－theMann-WhitneyUtest（曼－惠特尼Ｕ考驗）及therunstest（連檢定法）。這兩種統計方法是適用在比較兩個樣本的等級尺度變項(ordinallevelvariables)之假設測定上。所謂的「無參數（或母數）」檢定方法之名稱可說是有些誤導。無參數並非說母群體之分配沒有參數（可能嗎？），而是說這種檢定法並不須要有母群為常態分配之假定或對母群之分配情況做任何假定。（目前為止，我們討論的假設測定方法，都對母群之分配做了某些假定，記得嗎？）如我們所知，當樣本數小的時候，研究者常不能或不願做母群分配為常態之假定，因此無參數之檢定方法在小樣本之假設測定時十分有用。但是，相對於要做較嚴格之母群分配性質之檢定方法（如Z-或t-test），無參數測定方法之考驗力（即和power有關之powerefficiency）較小，也就是犯β錯誤（這是一種什麼樣的錯誤？）較大，故如果能夠或願意對母群分配做基本假定時，我們還是比較願以Z-test或t-test這類檢定法來做假設測定。另一種情況經常要用到無參數檢定法的是當研究者是以等級尺度來測量所研究之現象時。在前兩章所討論之Z-test或t-test都是在做比例或平均數方面之假設測定，這些都是以等距／比值尺度來測量的（這也在設定基本假定的步驟中列出）。不過當一研究者用等級尺度來測量一個現象時，其背後的假定常是認為現象本身在本質上是一連續的變項(acontinuousvariable)，但是因目前還想不出更好的方法或工具來測量，故只能以較粗略之等級尺度來測量。總而言之，當您不願或不能對母群體或抽樣分配之特性做任何1社會統計關秉寅基本假定，或是不能做等距／比值之測量尺度之基本假定時，您就應考慮以可用在等級尺度測量變項之無參數檢定法。參、TheMann-WhitneyUtest(曼－惠特尼Ｕ考驗法）此法亦稱為Wilcoxontest或Wilcoxontwo-sampletest。這種無參數假設測定法和前面所學的兩樣本平均數差異之測定法很相似。我們做此無參數測定之目的，也是比較兩個隨機樣本之差異，然後推論到兩個母群間的差異。我們做推論之依據，也是以所有可能樣本特性所組成之抽樣分配為基礎。不一樣的地方是，我們不是計算平均數的差異，而是根據樣本中變項分數之等級，計算出檢定統計值Ｕ。計算Ｕ值的方法頗簡單，我們先將兩樣本合併，然後依變項分數給予等級，分數高者的等級分數也較高，然後以高低加以排列（從低到高）。再分別將每一個樣本中分數所分到之等級加起來。最後，比較兩樣本間等級總和的差異。設計這種檢定法的觀念是，如果兩樣本之分數分配情況無差異，則兩樣本在混合後排列所得之等級總和應該相當的接近。以下就以一例來說明此測定法。（例）如有一研究者想了解是男性還是女性會比較嚴格定義「誠實」這種規範，因而對12名男性及12名女性進行調查。他請他們在讀過各種可能和不誠實有關之情況的描述後，對每一情況做一不誠實程度的評分。每份調查評分是由0到50（50表示對誠實之定義較嚴格）。在此誠實之評價為一等級變數，所以可用TheMann-WhitneyUtest，資料呈現如下：2社會統計關秉寅男性女性編號分數等級編號分數等級112113142220414153324715215425816236529101728963011183314731121936168321320391793515214219104018224320114421234522124723244824ΣR男=143ΣR=157女當我們將兩樣本合併，將全部分數依序分等級時，如果有兩個分數是同分，則先給這些分數連續之等級，（如有兩分數相同，等級是8及9），然後將這些連續等級相加後予以平均（如(8+9)／2=8.5），此平均等級即為這些同分之等級，以下為假設測定之步驟：1、基本假定：Model：兩個獨立隨機樣本測量尺度為等級（注意：不須對母群分配做假定）2、虛無假設：由於我們不是在對母群之某一特定母數（或特性）做推論，而只是在測定是否兩母群分配是相同的（或兩樣本是來自同一母群），因此此處之虛無假設為：H0：就我們所感到興趣的變項而言，兩樣本是來自性質相同之母群體H1：就我們所感到興趣的變項而言，兩樣本是來自性質不同之母群體）3、選擇抽樣分配及建立臨界區非常幸運的是（根據某位天才統計學家），當兩樣本中每個樣本之數目是大於10時，Ｕ之抽樣分配是趨近常態。因此我們可3社會統計關秉寅用Z分配表來做為此檢定之基礎。所以Samplingdistribution＝Z分配α＝0.05（研究者自己設定）Z(critical)＝±1.96（臨界區之起點）4、計算檢定統計到底Ｕ要如何算出呢？上面資料呈列中，已算出兩個等級總和，ΣR男及ΣR女。而Ｕ＝N2＋N1(N11)－ΣR，N121其中N、N為兩樣本之數，ΣR為第一樣本（即女性樣本）之121等級總和（而事實上在計算Ｕ時，我們要看那一樣本之等級總和較大，即為第一樣本ΣR，在此是女性樣本之等級總和較大）。1所以，在此例中，Ｕ＝(12)(12)＋12(13)－157＝652（如果以N1N2－Ｕ的話，即得Ｕ′，也就是說Ｕ′＝N1N2＋N2(N21)－ΣR2，2因ΣR之值較ΣR為大，因此Ｕ′＞Ｕ，而在此測定方法中，即12要用Ｕ′及Ｕ兩值中較小者《自是Ｕ》做測定之依據。）有了Ｕ，則檢定統計值為Z(obtained)＝Uu，其中uμu是所有可能樣本之U之抽樣分配的平均數，σｕ即此種抽樣分配的標準差。由上式可知，TheMann-WhitneyUtest之形式和兩樣本平均數之Z-test很像，而μu＝N1N2／2σ＝N1N2(N1N21)ｕ124社會統計關秉寅依此例則μu＝(12)(12)／2＝72σｕ＝(12)(12)(12121)＝17.3212所以Z(obtained)＝6572＝7＝－0.4017.3217.325、做決定因為在α＝0.05之顯著水準下，Z(obtained)為－0.40不在臨界區內，故不能拒絕H0。也就是說男性和女性在誠實評分上並無（統計上的）顯著差異。肆、TheRunsTest（連檢定）此法和上述之測定方法之道理十分接近。不同的是，此法在相同分數之組數多時（即ties多時），比較不適用。此法是將兩樣本合併當成一個樣本，然後將樣本中變項分數從低排到高，然後看有多少runs（連）。所謂一個run即任何分數序列是由來自同一樣本之分數所組成即為一個run，此分數序列(sequence)可以是只有含一個分數之序列，或是兩個及兩個以上分數所成之序列。如虛無假設為真，則來自兩樣本之分數序列應參雜排列，且有許多runs。以下面W（White）及B（Black）兩樣本所組成之序列組為例：樣本別：WBWBWBWWWWBWWBBBBWB序列：123456789101112W及B下面以橫線代表各組序列，而W是表示W之分數最低，B是說B之分數第二低。12在此測定方法中，虛無假設與上法同，而此虛無假設之實質含意是：如果虛無假設為假（或不正確，false），則run之數目應很小。最少之run數，在兩樣本之情形是為2，即如下：5社會統計關秉寅WWWWWBBBBB12反之，當H0為真時，則run之數目應很大。此外，當至少一個樣本之數目是大於20時，此run之抽樣分配趨近常態，我們又可用Z分配表來做測定之基礎，在此Z(obtained)＝RRR即樣本中連之數目μR為所有可能樣本之連的抽樣分配的平均數σR即為此種抽樣分配之標準差，而μ2N1N21R＝N1N2σ＝R2N1N2(N1N2N1N2)(N1N2)2(N1N21)肆、結語您或許要問，上面之測定方法都對樣本數大小做了一些假定，然後才用Z分配為測定基礎，如果樣本數小於上述假定時，怎麼辦？事實上，在此種樣本很少之情形下，要用另外的分配表來做檢定之結果的判定，這種分配表在專門討論各種無參數測定方法之書中，或其它較進級之統計書中都可找到。※您現在應該想一想，到現在為止，您已學會了幾種測定方法，它們適用之情況為何？有何不同？6