考试要求 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.第2节 圆的方程考点一 圆的方程【例1】(1)(一题多解)过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________. (2)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________. 解析 (1)法一 由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.① 过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在_______；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在_______；(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在_______.圆外圆上圆内[常用结论与易错提醒]圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.( )(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.( )(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( ) A.(－1，1) B.(0，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.a＝±1 解析 因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1. 答案 A3.(2019·宁波十校适应性考试)已知直线l过圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，当原点到直线l距离最大时，直线l的方程为( ) A.y＝2 B.x－2y－5＝0 C.x－2y＋3＝0 D.x＋2y－5＝0答案 D4.(必修2P124A4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________. 解析 设圆心坐标为C(a，0)， ∵点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上， ∴|CA|＝|CB|，5.(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________. 解析 由已知方程表示圆，则a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1. 当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 答案 (－2，－4) 5所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.法二 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④由①，②，④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案 (1)(x－3)2＋y2＝2 (2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.答案 (1)x2＋y2－2x＝0 (2)(x－2)2＋y2＝9(2)如图所示，过点O作OP⊥MN交MN于点P.在Rt△OMP中，|OP|＝|OM|·sin45°，因此－1≤x0≤1.答案 (1)D (2)[－1，1]考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. (1)求点M的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.故l的方程为x＋3y－8＝0.规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练3】设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
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