偏序关系在金融经济投资中的应用
汤欣雨
应用数学
12014000842
1、引言
泛函分析是20世纪30年代形成的数学分支，是从变分问题、积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用分析、几何、代数的观点来研究无限维线性空间上的函数、极限和微积分理论。它可以看做解析几何和数学分析在无限维线性空间的延伸。泛函分析在力学、理论物理、生物数学、概率论、控制论和信号处理学中都有重要的应用。它的概念、思想和研究方法已渗透到现在各个自然科学领域和工程技术中。其中，泛函分析中的偏序关系在金融经济投资中的应用也是相当广泛的，在这里我就简单介绍一下。
在微观经济学中，消费者利用效用函数对商品或者商品组合进行评价，从而选择最优消费组合。在证券投资中，投资者需要采取一定的数学思想对证券或者证券组合进行评价。而在经济学中如何用数学的语言，特别是泛函分析某一结论或定理来描述个人的选择问题，在这里我们引入投资者的偏序关系以及偏序的效用函数来进行解决这个问题。
2、主要结果
在投资中，投资者要对证券或者证券组合进行评价。等价地，我们在所有证券所组成的集合上定义一个偏序关系。但是投资者可以利用偏序关系对证券进行评价，但又由于偏序关系数学处理非常不便。为此，我们需要把偏序关系转化为效用函数。在这里，我们需要知道偏序的假设，以及偏序与效用函数之间在什么条件下存在对应关系？偏序关系在数学里也即是偏好关系。
1、偏好关系
1.1二元关系
我们先来确定二元关系的定义：即一个集合M上的二元关系是确定这个集合M中两元素之间的一种联系。有的二元关系所涉及的两个元素有相同的性质，有的二元关系所涉及的两个元素则属于不同性质的集合。一般地，二元关系都会满足一定的性质，如完全性、传递性、自反性、（非）对称性。在这里我们主要考虑前三种性质。
1.2证券组合集(即所有证券组成的集合)及其性质
1.2.1证券组合集
现在如果共有
种投资方式，一个投资
计划
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是指可以在时刻
和
获得这
种投资产品的数量分别为
和
，但现在
和
都是
维向量，所以是
,
是二元的
维向量，
则是所有二元非负
维向量的总体，即二元
维空间中正的象限，其中每个二元
维向量的元素都非负。
是所有投资组合的集合，我们称之为证券组合集。
1.2.2证券组合的基本性质
a、非空，总有投资计划存在，数学
表
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达式为
b、闭性，任何一个投资计划都可看作证券组合集
中的一个点，任何一串点(投资计划)的极限点也是投资集
中的一个投资计划，所以投资组合集是闭集。
c、凸性，投资组合集
中任何两个投资计划
和
的任意凸组合都是投资组合集
中的消费计划，即有
。所以，投资组合集是凸集。
d、
1.3偏好关系与选择公理
我们用证券收益来表示该证券，用
表示所有证券(收益)所组成的集合也即投资组合集，在投资组合集
上定义一个二元关系
，如果
，则称商品
好于商品
，记为
。
根据经济学中关于理性人偏好的基本假设，一个二元关系
要是能够刻画投资者的偏好，还必须满足一定的条件，也即是理性选择三公理：完备性，反身性，传递性。
我们称
上的二元关系
是一个偏好关系，如果满足以下条件：
选择公理1(完备性)：任何两个投资组合集
中的消费计划是可以比较好坏的，数学表达为
,一定有
或者
。
选择公理2(反身性)：任何投资计划都不比自己差，数学表达为
，一定有
。
选择公理3(传递性)：不会发生循环的逻辑选择，如果
,
和
是投资组合集
中的三个投资计划，
不比
差，
不比
差，则
一定不比
差。数学表达为
。
下面定义严格的偏好关系。严格的偏好关系是指对投资组合集中的两个消费计划进行比较时，一个严格的比另一个好。数学表达为：投资组合集
上一个二元关系
，当且仅当
并且
时，有
。
再定义无差异关系(indifference)。无差异关系是指投资者在投资组合集中比较两个投资计划时，二者比不出好坏。数学表达为：投资组合集
上一个二元关系
，当且仅当
并且
时，有
。
有偏好关系、严格的偏好关系和无差异关系知，对于投资组合集中的任意两个投资计划，要么
，要么
，不然的话，就是
。
1.4必备的几个选择公理
在得出效用函数之前，我们还需要引用几个选择公理来更充分的
证明
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效用函数的存在性。
选择公理4(连续性)：偏好关系不会发生突然的逆转。也就是说，如果有一串的投资集
中的投资计划
，所有的
都不差于投资组合集中的某个消费计划
，即有
；而
收敛于(无限逼近于)一个投资计划
(由投资组合集的闭性知，
也一定属于
)，则一定有
。
选择公理5(局部非厌足性)：对于任何一个投资组合集中的投资计划，一定可以通过对它稍作修改，获得严格比它好的投资计划。也就是说，没有一个投资计划能够使投资者完全满意。
选择公理6(凸性)：三个投资计划
，如果
，
，那么，对所有的
，都有
；如果
，
，那么，对所有的
，都有
。
下面我们解释一下凸性公理(选择公理6)的经济涵义。
假如经济中只有两种投资产品，投资产品1和投资产品2.如图1所示的横坐标
和纵坐标
分别表示这两种投资产品的数量，则坐标图中的任何一个点都可以看作是一个投资计划，其坐标位置分别表示可以占有投资产品1和投资产品2的数量。如图所示，
是一个投资计划，那么根据选择公理6，与
无差异的所有投资计划所构成的无差异曲线弧
是凸向原点的，而所有比
好的投资计划都在无差异曲线的右上方。无差异曲线之所以呈现这样的形状，是因为这两种投资产品的编辑替代率递减。所以，凸性公理具有明显的经济意义。
在证券组合集
上引入了偏好关系
后，投资者就可以利用偏好关系
对证券(组合)进行评价了。
0
图1
2、偏好关系的效用函数表示
虽然投资者可以利用偏好关系
对证券进行评价，但是偏好关系数学处理非常不便。为此，我们把偏好关系转化为效用函数。
定义2.1：
上的函数
称为偏好关系
的效用函数表示，如果
，当且仅当
。
定理2.1(Debreu)：假设
是投资组合集
上的一个偏好关系，如果满足理性选择公理(选择公理1至6，实际上只需要满足选择公理1至4)，就存在一个连续实函数
，使得
，其中投资集
只有有限个或者可数个元素。
效用函数
可以说是唯一的，除了对它做严格的仿射变换。也就是说，如果
是效用函数，则所有的
也都是效用函数，这里
和
是任意的实数，除了这种线性变换外，
是唯一的。
下面我们就来证明一下效用函数的存在性。
证：我们采用数学归纳法来证明。
浙公网安备 33021202002483