2.2随机变量的数学期望
教学目的：1.掌握随机变量的数学期望的定义。
2.熟练能计算随机变量的数学期望。
教学重点：1．随机变量的数学期望
2．随机变量函数的数学期望
3．数学期望的性质
教学难点：数学期望的统计意义。
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。
1．离散随机变量的数学期望
我们来看一个问题：
某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量，如何定义X取值的平均值呢？
若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为
这个数能作为X取值的平均值吗？
可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。
对于一个随机变量X，若它全部可能取的值是
， 相应的概率为
，则对X作一系列观察(试验)所得X的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数很大，出现
的频率会接近于
，于是试验值的平均值应接近
由此引入离散随机变量数学期望的定义。
定义1 设X是离散随机变量，它的概率函数是
如果
收敛，定义X的数学期望为
也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。
例1 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望。
解 设试开次数为X，则
，
于是
2. 连续随机变量的数学期望
为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设X是连续随机变量，其密度函数为
，把区间
分成若干个长度非常小的小区间，考虑随机变量X落在任意小区间
内的概率，则有
=
由于区间
的长度非常小，随机变量X在
内的全部取值都可近似为
，而取值的概率可近似为
。参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引入连续随机变量数学期望的定义。
定义2 设X是连续随机变量，其密度函数为
。如果
收敛，定义连续随机变量X的数学期望为
也就是说,连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。
由连续随机变量数学期望的定义不难计算：
若
，即X服从
上的均匀分布,则
若X服从参数为
若X服从
3.随机变量函数的数学期望
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是随机变量X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说
的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变量函数的数学期望计算问题。
一种方法是，因为
也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的
X的分布求出来。一旦我们知道了
的分布，就可以按照数学期望的定义把
计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数
的分布，一般是比较复杂的。那么是否可以不先求
的分布，而只根据X的分布求得
呢？答案是肯定的，其基本公式如下：
设X是一个随机变量，
，则
当X是离散时, X的概率函数为
；
当X是连续时，X的密度函数为
。
该公式的重要性在于，当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。
4.数学期望的性质
（1）设C是常数，则E(C)=C 。
（2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。
（3）
。
推广到n个随机变量有
。
（4）设X、Y相互独立，则有 E(XY)=E(X)E(Y)。
推广到n个随机变量有
5.数学期望性质的应用
例2 求二项分布的数学期望。
解 若
，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。
若设
i=1,2，…，n
则
，因为
，
所以
，则
可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np 。
需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。
例3 设随机变量X服从柯西分布,概率密度为
求数学期望
。
解 依数学期望的计算公式有
因为广义积分
不收敛，所以数学期望
不存在。
本文档为【2随机变量的数学期望】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483