集合的概念教案

第一章 集合 §1.1集合与集合的表示方法 1.1.1　集合的概念 【学习要求】 1.初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法． 2.初步了解“属于”关系的意义． 3.初步了解有限集、无限集、空集的意义． 【学法指导】 通过实际生活中经常用到的集合思想，抽象概括出集合的定义，感知集合的含义，进一步理解分类的思想；通过由自然语言描述集合到用抽象的符号语言描述集合的过程，体会集合语言的精确性和简洁性. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)． 2.集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性． 3.集合与元素的表示：集合通常用 英语大写字母A，B，C，… 来表示， 它们的元素通常用英语小写字母a，b，c，… 来表示． 4.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说 a属于A ，记作a∈A，读作“a属于A ”； 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A ，记作a?A，读作“ a不属于A ”；空集：我们把 不含任何元素  的集合叫做空集，记作? . 5.集合的分类：含有有限个元素的集合叫做有限集 ，含有无限个元素的集合叫做无限集 . 6.常用数集的记号：自然数集记作N；正整数集记作N＋或N*，整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R . 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]　军训前学校通知：今天上午八点高一年级在体育场集合进行军训动员；那么这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生呢？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合． 探究点一　集合概念的形成过程 问题1　在初中，我们学过哪些集合？用集合描述过什么？ 答　在初中代数里学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合．在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成是点的集合． 问题2　对集合的概念我们并不陌生，那么你能给集合下个定义吗？ 答　一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素． 探究点二　集合中元素的特征 问题1　某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？ 答　某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准，高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定． 元素确定性的含义是：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了． 问题2　集合中的元素不能相同，这就是元素的互异性，那么如何理解这一性质？ 答　一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，如果有重复的元素在集合中只能算一个元素． 问题3　“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学 说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？ 答　两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性，只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的． 例1　考查下列每组对象能否构成一个集合． (1)不超过20的非负数； (2)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (3)某校2013年在校的所有高个子同学； (4) 的近似值的全体． 解　(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合； (2)能构成集合； (3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； (4)“ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合． 小结　判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素 跟踪训练1　下列给出的对象中，能构成集合的是            (  ) A．著名数学家                  B．很大的数 C．聪明的人                  D．小于3的实数 解析：由于只有选项D有明确的标准，能组成一个集合． 探究点三　集合与集合中的元素的关系及表达 问题1　集合及集合中的元素用怎样的字母来表示？ 答　我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合；用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素． 问题2　集合与元素之间的关系如何表示？ 答　如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A，读作“a不属于A”． 例2　已知－3∈A，A中含有的元素有a－3,2a－1，a2＋1，求a的值． 解　由－3∈A，可知a－3＝－3或2a－1＝－3， 当a－3＝－3时，a＝0； 当2a－1＝－3时，得a＝－1.经检验，0与－1都符合要求． ∴a＝0或－1. 小结　由元素的确定性知：－3∈A，则必有一个式子的值为－3，以此展开讨论，便可求得a.求出的a值代入A的元素后，不能出现相同的元素，否则这样的a不符合元素的互异性，应舍去． 跟踪训练2　已知由1，x，x2三个实数构成一个集合，求x应满足的条件． 解：根据集合元素的互异性，得 ， 所以x∈R且x≠±1，x≠0. 探究点四　集合的分类及常用数集 问题1　根据集合所含元素的多少，怎样对集合进行分类？ 答　(1)把不含任何元素的集合叫做空集；(2)含有有限个元素的集合叫做有限集；(3)含有无限个元素的集合叫做无限集． 问题2　常用的数集有哪些？如何表示？ 答　非负整数集(或自然数集)，记作N；正整数集，记作N*或 N＋；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R. 例3　下面有四个命题，正确命题的个数为              (  ) ①集合N中最小的数是1；②若－a不属于N，则a属于N； ③若a∈N，b∈N*，则a＋b的最小值为2；④x2＋1＝2x的解可表示为{1,1}． A．0个      B．1个        C．2个        D．3个 解析：①最小的数应该是0， ②反例：－0.5?N，但0.5?N， ③∵当a＝0，b＝1时，a＋b取得最小值，则a＋b＝1， ④由元素的互异性知④错． 小结　集合可以用大写的字母表示，但自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集有专用字母表示，一定要牢记，以防混淆． 跟踪训练3　用符号“∈”或“ ”填空： －3________N； 3.14________Q； ______Q；  1________N＋； π________R. 练一练：当堂检测、目标达成落实处 1.下列各条件中能构成集合的是(  ) A．世界著名科学家  B．在数轴上与原点非常近的点 C．所有等腰三角形  D．全班成绩好的同学 解析：在选项A、B、D中，由于都没有确定的标准，因此不能构成集合． 2.给出下列几个关系，正确的个数为                    (  ) ① ∈R；②0.5?Q；③0∈N；④－3∈Z；⑤0∈N＋. A．0        B．1        C．2        D．3 解析：正确的有①③④，故选D项． 3.一个小 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素． 解析：由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个， 因此书架上的书组成的集合中有10个元素． 4.方程x2－2x＋1＝0的解集中，有________个元素． 解析：易知方程x2－2x＋1＝0的解为x1＝x2＝1， 由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素． 课堂小结： 1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合． 2.集合中元素的三个性质 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． (3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系.