习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
0
1
2
3
1
0
0
3
0
0
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
P(0黑,2红,2白)=
0
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
求二维随机变量（X，Y）在长方形域
内的概率.
【解】如图
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=
求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；
（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】（1） 由
得 A=12
（2） 由定义，有
(3)
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}；
（3） 求P{X<1.5}；
（4） 求P{X+Y≤4}.
【解】（1） 由性质有
故
（2）
(3)
(4)
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
fY（y）=
求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
而
所以
(2)
7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
求（X，Y）的联合分布密度.
【解】
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求边缘概率密度.
【解】
题8图 题9图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求边缘概率密度.
【解】
题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
（1） 试确定常数c；
（2） 求边缘概率密度.
【解】（1）
得
.
(2)
11.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.
题11图
【解】
所以
12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.
（1） 求X与Y的联合概率分布；
（2） X与Y是否相互独立？
【解】（1） X与Y的联合分布律如下表
3
4
5
1
2
0
3
0
0
(2) 因
故X与Y不独立
13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
2 5 8
0.4
0.8
0.15 0.30 0.35
0.05 0.12 0.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布；
（2） X与Y是否相互独立？
【解】（1）X和Y的边缘分布如下表
2
5
8
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2
0.2
0.42
0.38
(2) 因
故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
fY（y）=
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
【解】（1） 因
故
题14图
(2) 方程
有实根的条件是
故 X2≥Y，
从而方程有实根的概率为：
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为
f（x）=
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数
(1) 当z≤0时，
（2） 当0
0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0
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