2018版高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用2.10导数的概念及运算模拟演练课件理

[A级　基础达标](时间：40分钟) 1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于(　　) A．－e B．－1 C．1 D．e 解析　∵f′(x)＝2f′(1)＋eq \f(1,x)，∴f′(1)＝2f′(1)＋1， ∴f′(1)＝－1.故选B. 2．[2017·洛阳二练]曲线f(x)＝eq \f(x2＋a,x＋1)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为eq \f(3π,4)，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．7 D．－7 解析　f′(x)＝eq \f(2xx＋1－x2＋a,x＋12)＝eq \f(x2＋2x－a,x＋12)， 又∵f′(1)＝taneq \f(3π,4)＝－1，∴a＝7. 3．[2017·河北质检]已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值是(　　) A．e B．－e C.eq \f(1,e) D．－eq \f(1,e) 解析　依题意，设直线y＝kx与曲线y＝ln x切于点(x0，kx0)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kx0＝ln x0，,k＝\f(1,x0)，))由此得ln x0＝1，x0＝e， k＝eq \f(1,e)，选C. 4．[2017·海南文昌中学模拟]曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1 C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1 解析　依题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1，故选A. 5．[2017·上饶模拟]若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　　) A．1 B.eq \r(2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(3) 解析　因为定义域为(0，＋∞)，所以y′＝2x－eq \f(1,x)＝1，解得x＝1，则在P(1,1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2). 6．直线x－2y＋m＝0与曲线y＝eq \r(x)相切，则切点的坐标为________． (1,1) 解析　∵y＝eq \r(x)＝xf (1,2) eq \s\up15( ) ，∴y′＝eq \f(1,2)xf (1,2) eq \s\up15(－) ，令y′＝eq \f(1,2)xf (1,2) eq \s\up15(－) ＝eq \f(1,2)，则x＝1，则y＝eq \r(1)＝1，即切点坐标为(1,1)． 7．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋eq \f(b,x)(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________． －3 解析　由曲线y＝ax2＋eq \f(b,x)过点P(2，－5)， 得4a＋eq \f(b,2)＝－5.① 又y′＝2ax－eq \f(b,x2)，所以当x＝2时，4a－eq \f(b,4)＝－eq \f(7,2)，② 由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))所以a＋b＝－3. 8．[2016·金版创新]函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)在R上的导函数f′(x)＞eq \f(1,2)，则不等式f(x)＜eq \f(x＋1,2)的解集为__________． (－∞，1) 解析　据已知f′(x)＞eq \f(1,2)，可得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fx－\f(1,2)x))′＝f′(x)－eq \f(1,2)＞0，即函数F(x)＝f(x)－eq \f(1,2)x在R上为单调递增函数，又由f(1)＝1可得F(1)＝eq \f(1,2)，故f(x)＜eq \f(1＋x,2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)x，化简得f(x)－eq \f(1,2)x＜eq \f(1,2)，即F(x)＜F(1)，由函数的单调性可得不等式的解集为(－∞，1)． 9．[2017·山西师大附中质检]已知曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3). (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程． 解　(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，所以在点P(2,4)处的切线的斜率为y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2))＝4. 所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)设曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)与过点P(2,4)的切线相切于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，则切线的斜率为y′|x＝x0＝xeq \o\al(2,0). 所以切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq \o\al(2,0)(x－x0)， 即y＝xeq \o\al(2,0)·x－eq \f(2,3)xeq \o\al(3,0)＋eq \f(4,3). 因为点P(2,4)在切线上，所以4＝2xeq \o\al(2,0)－eq \f(2,3)xeq \o\al(3,0)＋eq \f(4,3)， 即xeq \o\al(3,0)－3xeq \o\al(2,0)＋4＝0，所以xeq \o\al(3,0)＋xeq \o\al(2,0)－4xeq \o\al(2,0)＋4＝0， 所以xeq \o\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 10．已知函数f(x)＝x－1＋eq \f(a,ex)(a∈R，e为自然对数的底数)． (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程． 解　(1)f′(x)＝1－eq \f(a,ex)，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－eq \f(a,e)＝0，解得a＝e. (2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋eq \f(1,ex)，f′(x)＝1－eq \f(1,ex). 设切点为(x0，y0)， ∵f(x0)＝x0－1＋eq \f(1,ex0)＝k x0－1，① f′(x0)＝1－eq \f(1,ex0)＝k，② ①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e. ∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1. [B级　知能提升](时间：20分钟) 11．[2016·昆明调研]若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析　依题意得，f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，则b＝0，又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1，选C. 12．[2016·山东高考]若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　) A．y＝sinx B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 解析　设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．选项A中，y′＝cosx，cosx1cosx2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故选项A中的函数具有T性质；选项B、C、D中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为－1，故选A. 13．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是___________． (－∞，0) 解析　由题意，可知f′(x)＝3ax2＋eq \f(1,x)，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋eq \f(1,x)＝0，即a＝－eq \f(1,3x3)(x>0)，故a∈(－∞，0)． 14．[2017·云南大理月考]设函数f(x)＝ax－eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq \f(7,4)x－3. 当x＝2时，y＝eq \f(1,2).又f′(x)＝a＋eq \f(b,x2)， 于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq \f(3,x). (2)证明：设P(x0，y0)为曲线上的任一点，由y′＝1＋eq \f(3,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)， 即y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)． 令x＝0得y＝－eq \f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(6,x0))). 切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(6,x0))) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x0))＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.