8.第八讲：平面向量的坐标表示与线性运算

第八讲  平面向量的坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示与线性运算 一、引言 本节主要内容：平面向量的基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示等内容．通过本节学习，进一步加深对平面向量的认识，掌握通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，领悟数学知识间的内在联系和数形结合的重要数学思想． 本节学习要求：了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法、数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件，灵活运用平面向量的基本定理和平面向量的坐标表示解决相关问题，发展运算能力和数形结合解决问题的能力． 本节高考的热点是向量的概念、加法、减法，平面向量的坐标运算，两个非零向量平行的充要条件；试题多以选择题、填空题为主，考查基本概念、基本运算．在解答题中，一般是将某些基本概念、公式作为中间步骤来考查，难度适中． 在高考试题中，对平面向量的考查主要有：1．主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义；2．考查向量坐标表示，向量的线性运算；3．和其他知识结合在一起，在知识的交汇点 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 试题，考查向量与学科知识间综合运用能力；4．考查以向量为工具，即构造向量解决有关数量问题，侧重体现向量的工具性作用． 二、考点梳理 1．平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 ． 我们把不共线向量 、 做表示这一平面内所有向量的一组基底． 注意：（1）基底不惟一，关键是不共线； （2）由定理可将平面内的任一向量 在给出基底 、 的条件下进行分解； （3）基底给定时，分解形式惟一， 、 是被 ， ， 唯一确定的数． 2．两个向量的夹角 已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则 叫做向量 和 的夹角． 说明：（1）向量 和 的夹角的范围是 ．当 时， 和 同向；当 时， 和 反向； （2）当 时，我们说向量 和 垂直，记作 ． 3．平面向量的正交分解和坐标表示 （1）平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．正交分解是向量分解中常见的一种情形． （2）在直角坐标系内，如图，我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底．对于平面内的一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得 ， 这样，平面内的任一向量 都可以由 、 唯一确定，我们把有序数对 叫做向量 的（直角）坐标，记作： ． 其中 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标， 叫做向量的坐标表示．与 相等的向量的坐标也为 ． 特别地， ， ， ． 如图，在直角坐标平面内，以原点 为起点作 ，则点 的位置由 唯一确定． 设 ，则向量 的坐标 就是点 的坐标；反过来，点 的坐标 也就是向量 的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一有序实数对唯一表示． 4．平面向量的坐标运算 （1）若 ， ， 则 ，由向量线性运算的结合律和分配律，可得： ， 即 ，同理可得 ． 即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． ，即 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． （2）若 ， ，则 ① ． 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标． ②若 是线段 的中点，则由向量的线性运算可知： ，即点 的坐标为 ． 5．平面向量共线的坐标表示 设 ， ，其中 ．我们知道， 、 共线当且仅当存在实数 ，使 ． 如果用坐标表示，可以写为 ，即 消去 后得 ． 这就是说，当且仅当 时，向量 、 共线． 注意：（1）消去 时不能两式相除，因为 ， 有可能为0． ∵ ，∴ ， 中至少有一个不为0； （2）充要条件不能写成 ，因为 ， 有可能为0； 三、典型例题选讲 例1  已知 是以点 为起点，且与向量 平行的单位向量，则向量 的终点坐标是    ． 解：方法一：设向量 的终点坐标是 ，则 ，则题意可知 ，解得： 或 ，故填 或 ． 方法二：与向量 平行的单位向量是 ，故可得 ，从而向量 的终点坐标是 ，便可得结果． 归纳小结：①向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念；②与 平行的单位向量 ． 例2  给出下列命题：①若| |＝| |，则 = ；②若 ， ， ， 是不共线的四点，则 是四边形 为平行四边形的充要条件；③若 = ， = ，则 = ；④ = 的充要条件是| |=| |且 // ；⑤若 // ， // ，则 // ，其中正确的序号是      ． 解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵ ，∴ 且 ，又 ， ， ，D是不共线的四点，∴四边形 为平行四边形；反之，若四边形 为平行四边形，则， 且 ，因此， ． ③正确．∵ = ，∴ ， 的长度相等且方向相同；又 ＝ ，∴ ， 的长度相等且方向相同，∴ ， 的长度相等且方向相同，故 ＝ ． ④不正确．当 // 且方向相反时，即使| |=| |，也不能得到 = ，故| |=| |且 // 不是 = 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑 = 这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③． 归纳小结：本例主要复习向量的基本概念，向量的基本概念较多，因而容易遗忘，为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联系，帮助理解，加深记忆． 例3（08海南宁夏卷）平面向量 ， 共线的充要条件是（    ） A． ， 方向相同                B． ， 两向量中至少有一个为零向量    C． ，                    D．存在不全为零的实数 ， ， 解析：若 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数 使 ；若 ，则由两向量共线知，存在 ，使得 ，即 ，符合题意，故选Ｄ． 归纳小结：概念定理性的问题往往是看似简单，实则处处陷阱，所以应加强对基础概念、定理的深入理解，明确问题关键之处， 体会 针灸治疗溃疡性结肠炎昆山之路icu常用仪器的管理名人广告失败案例两会精神体会 本质． 例4  平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 ， ，若点 满足 ，其中 ， 且 ，则点 的轨迹方程为（    ） A．       　B． C．                   D． 解析：解法1：设 ，则 . ∴ 又 ． ， ． 消去参数 ，得点 的轨迹方程为 ． 解法2：利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知： ， ， 三点共线，故点 的轨迹方程即为直线 的方程 ，故本题应选D． 归纳小结：本题主要考查向量的运算（几何形式或坐标形式）及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富． 例5  如图，在 中， 、 是 的三等分点， ， ，则 =        ， =        ． 分析：以 ， 为基底，借助 、 是 的三等分 点，由平面向量的基本定理可以将 、 线性表出． 解：因为 、 是 的三等分点，所以 ， ． ． ． 归纳小结：若 是 的中点，则 的结论是显然的，这里给出了 的三等分点 、 ，向量 、 与 、 的关系，从中我们不难猜想 的四等分点、五等分点，……时的情况，这些规律可以作为结论记下来． 例6（2009北京卷理）已知向量 、 不共线， ， ，如果 ，那么（    ） A． 且 与 同向                      B． 且 与 反向 C． 且 与 同向                    D． 且 与 反向 解析：解法一：取 ， ．若 ，则 ， ，显然， 与 不平行，排除A、B． 若 ，则 ， ，即 且 与 反向，排除C，故选D． 解法二：若 ，则存在 ，使得 ，即 ，从而有 ，因为向量 、 不共线，由平面向量基本定理可得， ， ，即 ，且 与 反向．故选D． 归纳小结：本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法属于基础知识、平面向量基本定理等基础知识，侧重基本方法、基本运算的考查． 例7  已知平面上三点 、 、 ，求点 的坐标，使得这四点能够成平行四边形的四个顶点． 分析：本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序，故应分三种情况分别求解． 解：（1）当平行四边形为 时，因为 ，所以 ． 所以 ，即 ； （2）当平行四边形为 时，因为 ，所以 ． 所以 ，即 ； （3）当平行四边形为 时，因为 ，所以 ． 所以 ，即 ． 归纳小结：没有指明平行四边形顶点顺序时，要分情况讨论． 例8  设 、 分别为非等边三角形 的重心与外心， ， 且 ． （1）求点 的轨迹 的方程； （2）过点 作直线 与曲线 交于点 、 两点，设 ，是否存在这样的直线 ，使四边形 是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由． 分析：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系；（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得 的值． 解：（１）由已知得 ,又 ，∴ ． ∵ ，∴ ，即 ． （2）设 方程为 ，代入曲线 得： . 设 ， ，则x1+x2= ，x1x2= ． ∵ ，∴四边形 是平行四边形． 若四边形 是矩形，则 ． ∴ ，∴ ，得 ． ∴直线 为： ． 归纳小结：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题，注重数学知识之间联系的考查，解题时应充分考虑基础知识的结合点，灵活应用基本方法解决问题． 四、本专题 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 向量有了运算，变得威力无限．今后高考的考查会逐渐加大，综合性会更强．向量具有数形兼备的特点，成为了作为联系众多知识的桥梁．因此，向量与三角、解析几何、立体几何的交汇是当今高考命题的必然趋势，以后必须非常重视对向量的复习与演练，直至达到深刻理解、运用熟练的程度．