下载
加入VIP
  • 专属下载特权
  • 现金文档折扣购买
  • VIP免费专区
  • 千万文档免费下载

上传资料

关闭

关闭

关闭

封号提示

内容

首页 浅谈定积分的应用

浅谈定积分的应用.doc

浅谈定积分的应用

Daniel华伟
2019-02-23 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《浅谈定积分的应用doc》,可适用于工程科技领域

浅谈定积分的应用********(天津商业大学经济学院中国天津)摘要:定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处本文阐述了定积分的定义和几何意义并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。关键词定积分定积分的应用求旋转体体积变力做功TheApplicationofDefiniteIntegral********(TianjinUniversityofCommerceTianjinChina)Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of definite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathematics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 、前言众所周知微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下求微分实际上是求一个已知函数的导数而积分是已知一个函数的导数求原函数所以微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一既可以作为基础学科来研究也可以作为一个解决问题的方法来使用。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中从生产实际的角度上看应用又是重中之重随着数学的不断前进微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将举例介绍定积分在的我们日常学习和生活当中的应用。定积分的基本定理和几何意义、定积分的定义定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。即由,所围成图形的面积。定积分与不定积分看起来风马牛不相及但是由于一个数学上重要的理论的支撑使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加这似乎是不可能的事情但是由于这个理论可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿莱布尼兹公式它的内容是:如果是上的连续函数并且有那么用文字表述为:一个定积分式的值就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。正因为这个理论揭示了积分与黎曼积分本质的联系可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位因此牛顿莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。、定积分的几何意义当时是曲边梯形的面积如图a所示当时是曲边梯形的面积的负值b所示(a)          (b)图定积分的几何意义图示定积分的应用解决求曲边图形的面积问题例:求由抛物线与直线围成的平面图形D的面积S。求变速直线运动的路程做变速直线运动的物体经过的路程s等于其速度函数在时间区间上的定积分。变力做功某物体在变力的作用下在位移区间上做的功等于在上的定积分。定积分的应用举例、平面图形的面积、直角坐标系下平面图形的面积()X-型与Y-型平面图形的面积把由直线及两条连续曲线所围成的平面图形称为X-型图形如图a把由直线及两条连续曲线x=g(y)x=g(y)(g(y)g(y))所围成的平面图形称为Y-型图形。如图b(a)X-型图形             (b)Y-型图形图平面图形的面积注意:构成图形的两条直线有时也可能蜕化为点。把X-型图形称为X-型双曲边梯形把Y-型图形称为Y-型双曲边梯形。1)用微元法分析X-型平面图形的面积取横坐标x为积分变量。在区间上任取一微段该微段上的图形的面积dA可以用高为、底为dx的矩形的面积近似代替。因此从而2)微元法分析Y-型图形的面积对于非X-型、非Y-型平面图形我们可以进行适当的分割划分成若干个X-型图形和Y-型图形然后利用前面介绍的方法去求面积。例求由两条抛物线所围成图形的面积A。如图所示。图解解方程组得交点()()。将该平面图形视为X-型图形确定积分变量为x积分区间为。由公式()所求图形的面积为=。例求由曲线与直线所围成图形的面积A。如图所示图解解方程组得交点()(-)。积分变量选择y积分区间为-。所求图形的面积为=。、极坐标系中曲边扇形的面积在极坐标系中称由连续曲线及两条射线所围成的平面图形为曲边扇形。在上任取一微段面积微元dA表示这个角内的小曲边扇形面积所以。例求心形线所围成图形的积A。如图所示。图解因为心形线对称于极轴所以所求图形的面积A是极轴上方图形A的两倍。  极轴上方部分所对应的极角变化范围为由公式()所求图形的面积为==。、空间立体的体积一般情形设有一立体它夹在垂直于x轴的两个平面之间(包括只与平面交于一点的情况)其中如图所示。如果用任意垂直于x轴的平面去截它所得的截交面面积A可得为则用微元法可以得到立体的体积V的计算公式。过微段两端作垂直于x轴的平面截得立体一微片对应体积微元。因此立体体积如图所示。图空间立体的体积例经过一如图所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角的一平面可截得圆柱体一块楔形块求此楔形块的体积V。如图所示。图解:据图椭圆方程为。过任意处作垂直于x轴的平面与楔形块截交面为图示直角三角形其面积为应用公式()V==tan=tan。、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线l旋转一周而成的空间立体其中直线l称为该旋转体的旋转轴。把X-型图形的单曲边梯形绕x旋转得到旋转体则公式()中的截面面积是很容易得到的。如:、设曲边方程为旋转体体积记作。图旋转体绕Y轴旋转的的体积图旋转体绕X轴旋转的的体积过任意处作垂直于x轴的截面所得截面是半径为的圆因此截面面积。应用公式()即得类似可得Y-型图形的单曲边梯形绕y轴旋转得到的旋转体的体积计算公式其中的是曲边方程cd(c<d)为曲边梯形的上下界。例求曲线y=sinx(x)绕x轴旋转一周所得的旋转体体积Vx。图解Vx====。例求由抛物线y=与直线y=y=和y轴围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积Vy。图解抛物线方程改写为x=yy。由公式()可得所求旋转体的体积为Vy=、平面曲线的弧长表示为直角坐标方程的曲线的长度计算公式称切线连续变化的曲线为光滑曲线。若光滑曲线C由直角坐标方程则导数在上连续。图平面曲线的弧长如图所示在上任意取一微段对应的曲线微段为ABC在点A处的切线也有对应微段AP。以AP替代AB注意切线改变量是微分即得曲线长度微元ds的计算公式得到的公式称为弧微分公式。以C的方程y=f(x)代入得。据微元法即得直角坐标方程表示的曲线长度的一般计算公式若光滑曲线C由方程给出则在上连续根据弧微分公式、及微元法同样可得曲线C的弧长计算公式为例求曲线的弧长s。解ds=dx=dx所求弧长为。物理上的应用、变力做功物体在一个常力F的作用下沿力的方向作直线运动则当物体移动距离s时F所作的功。物体在变力作用下做功的问题用微元法来求解。设力F的方向不变但其大小随着位移而连续变化物体在F的作用下沿平行于力的作用方向作直线运动。取物体运动路径为x轴位移量为x则。现物体从点x=a移动到点x=b求力F作功W。如图所示。图变力做功在区间上任取一微段力F在此微段上做功微元为dW。由于F(x)的连续性物体移动在这一微段时力F(x)的变化很小它可以近似的看成不变那么在微段dx上就可以使用常力做功的公式。于是功的微元为。作功W是功微元dW在ab上的累积据微元法例求长m要用N的力求把弹簧拉长m时外力所做的功W。图解据虎克定律在弹性限度内拉伸弹簧所需要的外力F和弹簧的伸长量x成正比即其中k为弹性系数。据题设x=m时F=N所以=k得k=(Nm)。所以外力需要克服的弹力为F(x)=x。由()可知当弹簧被拉长m时外力克服弹力作功。例 一个点电荷O会形成一个电场其表现就是对周围的其他电荷A产生沿径向OA作用的引力或斥力电场内单位正电荷所受的力称为电场强度。据库仑定律距点电荷r=OA处的电场强度为(k为比例常数q为点电荷O的电量)。现若电场中单位正电荷A沿OA从r=OA=a移到r=OB=b(a<b)求电场对它所作的功W。图解这是在变力F(r)对移动物体作用下作功问题。因为作用力和移动路径在同一直线上故以r为积分变量可应用公式()得               。定积分在经济学中的应用利用定积分求原经济函数问题在经济管理中,由边际函数求总函数(即原函数),一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数,总收入函数以及总利润函数。设经济应用函数u(x)的边际函数为,则有例生产某产品的边际成本函数为,固定成本C()=,求出生产x个产品的总成本函数。利用定积分计算资本现值和投资若有一笔收益流的收入率为f(t),假设连续收益流以连续复利率r计息,从而总现值。例现对某企业给予一笔投资A,经测算,该企业在T年中可以按每年a元的均匀收入率获得收入,若年利润为r,试求:()该投资的纯收入贴现值()收回该笔投资的时间为多少解()求投资纯收入的贴现值:因收入率为a,年利润为r,故投资后的T年中获总收入的现值为Y=从而投资所获得的纯收入的贴现值为()求收回投资的时间:收回投资,即为总收入的现值等于投资。由得T=即收回投资的时间为T=例如,若对某企业投资A=(万元),年利率为,设在年中的均匀收入率为a=(万元年),则有投资回收期为=(年)由此可知,该投资在年内可得纯利润为万元,投资回收期约为年总结定积分在数学中占主导地位以上几个方面的应用也只是定积分在我们能够接触到的应用的一部分,定积分还有很多在我们生活、学习等领域中的应用之处。只要勤于学习,善于思考,勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力,同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。参考文献罗藴玲安建业程伟等.搞定呢过数学及其应用M北京:高等教育出版社吴传生.经济数学微积分M.第版.北京:高等教育出版社梁金荣.定积分在物理学中的应用探讨J.四川文理学院学报:唐方旭。定积分的定义及其应用J教育观察:王向东<<数学分析概念与方法>>上海科技文献出版社陈锡璞<<工程经济>>机械工业出版社北京ГМ菲赫金哥尔茨,《微积分学教程》,高等教育出版社,白银凤罗蕴玲,《微积分及其应用》,高等教育出版社

用户评价(0)

关闭

新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

抱歉,积分不足下载失败,请稍后再试!

提示

试读已结束,如需要继续阅读或者下载,敬请购买!

文档小程序码

使用微信“扫一扫”扫码寻找文档

1

打开微信

2

扫描小程序码

3

发布寻找信息

4

等待寻找结果

我知道了
评分:

/23

浅谈定积分的应用

VIP

在线
客服

免费
邮箱

爱问共享资料服务号

扫描关注领取更多福利