数学实验报告——利用MALTAB计算线性代数方程组的数值解法

实验三  线性代数方程组的数值解法 一、迭代法求解方程组 ㈠问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 描述 给定方程组的矩阵A，通过迭代法求解方程组。 1、选取不同的初始向量和不同的右端项向量，给定误差要求，用两种迭代法计算； 2、去顶右端项向量和初始向量，将A的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角线元素不变，用雅克比迭代法计算。 ㈡方法与公式 1、雅克比迭代法 2、高斯-赛德尔迭代法 ㈢结果与分析 1、不同初始向量、不同右端项向量、不同精度要求 (1)初始向量定为zeros(n,1); ①b=zeros(n,1) 迭代次数为0，直接得到结果。 ②b = ones(n,1) 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 10 13 17 20 23 26 29 33 高斯-赛德尔 7 9 11 13 14 16 18 20                   ③b = 1:n 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 10 13 16 20 23 26 29 32 高斯-赛德尔 7 9 11 13 15 17 18 20                   ④b = n:1 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 10 13 16 20 23 26 29 32 高斯-赛德尔 6 8 10 12 14 16 18 19                   (2)初始向量定为ones(n,1) ①b=zeros(n,1) 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 1041 1041 1041 1041 1041 1041 1041 1041 高斯-赛德尔 0 0 0 0 0 0 0 0                   由实验知，此时雅可比迭代法速度非常慢。 事实上，迭代100次时，所得结果约为10^-32，已经可以认为是0，但是由于没有达到精度要求，故不算收敛。 ②b=ones(n,1) 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 9 12 16 19 22 25 29 32 高斯-赛德尔 7 9 11 13 14 16 18 20                   ③b = 1:n 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 10 13 16 19 23 26 29 32 高斯-赛德尔 6 8 10 13 14 16 18 19                   ④b = n:1 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 10 13 16 19 23 26 29 32 高斯-赛德尔 7 9 11 13 15 17 18 20                   (3)初始向量定为1:n ①b=zeros(n,1) 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 1045 1045 1045 1045 1045 1045 1045 1045 高斯-赛德尔 0 0 0 0 0 0 0 0                   此时又出现了雅可比迭代法收敛速度极慢的情况。 ②b=ones(n,1) 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 14 17 20 24 27 30 33 36 高斯-赛德尔 7 9 11 13 14 16 18 20                   ③b = 1:n 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 9 12 15 19 22 25 28 32 高斯-赛德尔 6 8 10 12 14 16 18 19                   ④b = n:1 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 10 13 16 19 22 25 28 32 高斯-赛德尔 7 9 11 13 15 17 18 20                   (4)初始向量定为n:1 ①b=zeros(n,1) 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 1045 1045 1045 1045 1045 1045 1045 1045 高斯-赛德尔 0 0 0 0 0 0 0 0                   此时又出现了雅可比迭代法收敛速度极慢的情况。 ②b=ones(n,1) 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 14 17 20 24 27 30 33 36 高斯-赛德尔 7 9 11 13 14 16 18 20                   ③b = 1:n 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 10 13 16 19 22 25 28 32 高斯-赛德尔 6 8 10 12 14 16 18 19                   ④b = n:1 精度 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7 10^-8 10^-9 10^-10 雅可比 9 12 15 19 22 25 28 32 高斯-赛德尔 7 9 11 13 15 17 18 20                   (5)简要小结 a.在个别情况下雅可比迭代法收敛速度极慢，但事实上没有达到收敛时其计算结果已经可以接受； b.要求的精度越高，迭代的次数越多，迭代的次数与所要求的精度的对数值近似呈线性，也就是说两者近似呈指数关系； b.高斯-赛德尔迭代法有着比雅可比更好的迭代特性； 2、更改A的主对角线元素 (1) b =20:1;初值 1:20 对角线倍数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 迭代次数 19 11 9 8 8 7 7 7 6 6                       (2) b =20:1;初值 20:1 对角线倍数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 迭代次数 19 11 9 8 8 7 7 7 6 6                       (3) b =1:20;初值 20:1 对角线倍数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 迭代次数 19 11 9 8 8 7 7 7 6 6                       (4) b =[3;5;2;6;8;23;5;8;32;63;23;5;2;12;0;23;1;564;2;65]; 初值 ones(20,1) 对角线倍数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 迭代次数 21 11 9 8 8 7 7 7 6 6                       (5)简要小结 a.迭代的次数随着对角线元素的成倍的增长而降低，趋于一稳定值； b.右端项以及迭代初值仅当对角线元素较小时对迭代次数起有作用，对角线元素成倍数增加后，迭代次数不变。 3、 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 由以上各个对比可以得出以下结论： a.使用迭代法求解方程组时时，要求的精度越高，迭代次数越大； b.高斯-赛德尔迭代法的迭代次数要比雅可比迭代法迭代次数低； c.雅可比迭代的次数随着矩阵A对角线元素的成倍的增长而降低， d.当矩阵A的对角线元素足够大时，雅可比迭代法的迭代次数趋于稳定值； ㈣程序清单 1、第一问中的雅可比迭代 function [y,k] = jacobi(A,b,m,tol) D = diag(diag(A)); L = - tril(A,-1); U = - triu(A,1); n = length(A); y = ones(n,1); BJ=D\(L+U); fJ=D\b;  k=0; while norm(A*y-b)/norm(b)>tol && ktol && ktol && k 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 中示例） ㈢结果与分析 1、各种方法的比较 (1)追赶法 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 61.50303 64.00303 67.07818 70.27833 73.63224 77.14616 80.82777 84.68508 88.72647 92.96072 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 97.39704 102.0451 106.9149 112.0172 117.3629 122.9638 128.8319 134.9801 141.4217 148.1707 x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28 x29 x30 155.2418 162.6504 170.4124 178.545 187.0656 195.9928 205.3461 215.1458 225.4131 236.1703 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37 x38 x39 x40 247.441 259.2495 271.6216 284.584 298.1651 312.3943 327.3026 342.9223 359.2874 376.4335 x41 x42 x43 x44 x45 x46 x47 x48 x49 394.3979 413.2196 432.9395 453.6005 475.2474 497.9275 521.6898 546.5862 572.6707                     用时t0 = 2.e-05