常用逻辑用语
一、命题
1、命题的概念
在
数学
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中用语言、符号或式子
表
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达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2、四种命题及其关系
(1)、四种命题
命题
表述形式
原命题
若p,则q
逆命题
若q,则p
否命题
若
p则
q
逆否命题
若
q则
p
(2)、四种命题间的逆否关系
(3)、四种命题的真假关系
**两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
*两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
二、充分条件与必要条件
1、定义
1.如果p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
2.如果p?q,q?p,则p是q的充要条件.
2、四种条件的判断
1.如果“若
则
”为真,记为
,如果“若
则
”为假,记为
.
2.若
,则
是
的充分条件,
是
的必要条件
3.判断充要条件
方法
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:
(1)定义法:①p是q的充分不必要条件
②p是q的必要不充分条件
③p是q的充要条件
④ p是q的既不充分也不必要条件
(2)集合法:设P={p},Q={q},
①若P
Q,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
②若P=Q,则p是q的充要条件(q也是p的充要条件).
③若P
Q且Q
P,则p是q的既不充分也不必要条件.
(3)逆否命题法:
①
q是
p的充分不必要条件
p是q的充分不必要条件
②
q是
p的必要不充分条件
p是q的充分不必要条件
③
q是
p的充分要条件
p是q的充要条件
④
q是
p的既不充分又不必要条件
p是q的既不充分又不必要条件
三、简单的逻辑联结词
(1) 命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词.
①用联结词“且”联结命题p和命题q,记作p∧q,读作“p且q”.
②用联结词“或”联结命题p和命题q,记作p∨q,读作“p或q”.
③对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作?p,读作“非p”或“p的否定”.
(2)简单复合命题的真值表:
p
q
p∧q
p∨q
?p
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真
*p∧q: p、q有一假为假, *p∨q:一真为真, *p与?p:真假相对即一真一假.
四、量词
1、全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.
(2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.
(3)全称量词用符号“?”表示;存在量词用符号“?”表示.
2 全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M,P(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.
3命题的否定
(1) 含有量词命题的否定
全称命题p:
的否定
p:
;全称命题的否定为存在命题
存在命题p:
的否定
p:
;存在命题的否定为全称命题
其中
p(x)是一个关于
的命题.
(2) 含有逻辑连接词命题的否定
“p或q ”的否定:“
p且
q” ;
“p且q ”的否定:“
p或
q”
(3) “若p则q“命题的否定:只否定结论
特别提醒:命题的“否定”与“否命题”是不同的概念,命题的否定:只否定结论;否命题:全否
对命题p的否定(即非p)是否定命题p所作的判断,而“否命题”是 “若
p则
q ”