高中数学 单元测试三 北师大版必修2

单元测试三 　 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题　共50分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线的方程为(　　) A．19x－9y＝0　 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：D 解析：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(19,7)，,y＝\f(3,7).)) ∴k＝－eq \f(3,19).又过原点，∴直线方程为3x＋19y＝0. 2．已知点A(1,2 eq \r(3)＋1)，B(－1,1)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为(　　) A．1 B.eq \f(\r(3),3) C.eq \r(3) D．不存在 答案：B 解析：KAB＝ eq \r(3)，∴直线AB的倾斜角为60°. ∴l的倾斜角为30°，k＝tan30°＝eq \f(\r(3),3). 3．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　) A.eq \r(2) B．2－ eq \r(2) C.eq \r(2)－1 D.eq \r(2)＋1 答案：C 解析：由eq \f(|a－2＋3|,\r(2))＝1得a＝ eq \r(2)－1，a＝－ eq \r(2)－1(舍去)． 4．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的范围是(　　) A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0 C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±15，k≠1 答案：C 5．若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则(　　) A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1 C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝2 答案：D 解析：由题意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－3)＝－1,\f(a＋3,2)－\f(b＋4,2)－1＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝2))，故选D. 6．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是(　　) A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0 C．－3x＋4y－5＝0 D．3x－4y－5＝0 答案：B 解析：设对称直线上任一点坐标为(x，y) 它关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)． (x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上 ∴有3x－4(－y)＋5＝0即3x＋4y＋5＝0 即所求直线方程为3x＋4y＋5＝0. 7．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．[0°，90°] B．[90°，180°] C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°] 答案：C 解析：画图知l的倾斜角应是钝角或坐标轴上的角，A中含锐角不正确，B中180°不在其倾斜角的范围内应被排除，D中含的角不全面． 8．设直线与x轴的交点为P，且倾斜角为α，若将其绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α＋45°，则(　　) A．0°≤α<90° B．0°≤α<135° C．0°<α≤135° D．0°<α<135° 答案：D 解析：解答本题应紧扣直线的倾斜角的取值范围，还要注意到与x轴相交的直线的倾斜角不为0°. 从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0°<α<180°，,0°≤α＋45°<180°))， 所以0°<α<135°，故选D. 9．直线l过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则l的方程为(　　) A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0 答案：D 解析：当l⊥AB时符合要求，∵kAB＝eq \f(4－2,3＋3)＝eq \f(1,3)，∴l的斜率为－3. ∴l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0. 10．一条直线l被两条直线4x＋y＋6＝0和3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程是(　　) A．6x＋y＝0 B．6x－y＝0 C．x＋6y＝0 D．x－6y＝0 答案：C 解析：设l与4x＋y＋6＝0交于A(a，－4a－6)，l与直线3x－5y－6＝0，交于点B(b，eq \f(3b－6,5))，由(0,0)为AB的中点，故可得A(－eq \f(36,23)，eq \f(6,23))，由A，O两点确定l. 第Ⅱ卷(非选择题　共100分) 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 11．已知直线l：(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)在y轴上的截距是在 x轴上的截距的2倍，则a的值为________． 答案：－2或1 解析：当直线l：(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)过原点，即－2－a＝0时，解得a＝－2，此时该直线在两坐标轴上的截距都为0，所以在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，即a＝－2符合题意；当直线l：(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)不过原点，即－2－a≠0，即a≠－2时，易知a≠－1，该直线在y轴上的截距是2＋a，在x轴上的截距是eq \f(2＋a,a＋1)，所以由直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，得2×eq \f(2＋a,a＋1)＝2＋a，解得a＝1.综上所述，a的值为－2或1. 12．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为________． 答案：[0°，45°]∪(90°，180°) 解析：直线l的斜率k＝eq \f(m2－1,1－2)＝1－m2≤1.若直线l的倾斜角为α，则α≠90°，且tanα≤1.又tan45°＝1，且0°≤α<180°，∴0°≤α≤45°或90°<α<180°. 13．已知直线l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1与l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，则t的值为________． 答案：－1或1 解析：①若l1的斜率不存在，此时t＝1，l1的方程为x＝eq \f(1,3)，l2的方程为y＝－eq \f(2,5)，显然l1⊥l2，符合条件；若l2的斜率不存在，此时t＝－eq \f(3,2)，易知l1与l2不垂直．②当l1，l2的斜率都存在时，直线l1的斜率k1＝－eq \f(t＋2,1－t)，直线l2的斜率k2＝－eq \f(t－1,2t＋3)，∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(t＋2,1－t)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(t－1,2t＋3)))＝－1，所以t＝－1.综上可知t＝－1或t＝1. 14．已知a，b，c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为________． 答案：4 解析：求m2＋n2的最小值就是在直线ax＋by＋2c＝0上求一点，使这点到原点的距离的平方最小，因而其最小值为原点到直线ax＋by＋2c＝0的距离．由题意得到m2＋n2≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2c|,\r(a2＋b2))))2＝eq \f(4c2,a2＋b2)＝eq \f(4c2,c2)＝4，∴m2＋n2的最小值为4. 15．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为________． 答案：4 解析：设直线方程y－1＝k(x－2)，由已知k<0， 所以点A(2－eq \f(1,k)，0)，点B(0,1－2k)， 所以S△OAB＝eq \f(1,2)(2－eq \f(1,k))·(1－2k) ＝2－eq \f(1,2)(4k＋eq \f(1,k))， 由函数的单调性知，当4k＝eq \f(1,k)，即k＝－eq \f(1,2)时，△OAB的面积最小，最小值为4. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(13分)求与直线3x－4y＋7＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为1的直线l的方程． 解：解法一：由题意知，可设l的方程为3x－4y＋m＝0.则l在x轴y轴上的截距分别为－eq \f(m,3)、eq \f(m,4)，由－eq \f(m,3)＋eq \f(m,4)＝1知，m＝－12.∴直线l的方程为：3x－4y－12＝0. 解法二：设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1， 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,－\f(b,a)＝\f(3,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－3.)) ∴直线l的方程为：eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1，即3x－4y－12＝0. 17．(13分)△ABC的顶点A(5，－1)、B(1,1)、C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值． 解：若∠A为直角，则AC⊥AB， 所以kAC·kAB＝－1，即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(1＋1,1－5)＝－1， 得m＝－7； 若∠B为直角，则AB⊥BC， 所以kAB·kBC＝－1， 即－eq \f(1,2)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，得m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC， 所以kAC·kBC＝－1， 即eq \f(m＋1,－3)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，得m＝±2. 综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2. 18．(13分)已知直线l过两直线3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交点，且A(2,3)，B(－4,5)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程． 解：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0))， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝2))，即交点为(－1,2)． ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由题意得eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))， 解得k＝－eq \f(1,3). ∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0. ②当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x＝－1，符合题意． 综上，可知所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1. 19．(13分)直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程． 解：解法一：由题意设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)， ∴A(a,0)，B(0，b)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ab＝24,\f(3,a)＋\f(2,b)＝1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝4)). ∴直线l的方程为eq \f(x,6)＋eq \f(y,4)＝1， 即2x＋3y－12＝0. 解法二：由题意直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为 y－2＝k(x－3)(k≠0)， 令y＝0，得直线l在x轴上的截距a＝3－eq \f(2,k)， 令x＝0，得直线l在y轴上的截距b＝2－3k. 又a>0，b>0，可得k<0， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,k)))(2－3k)＝24，解得k＝－eq \f(2,3)，满足题意． ∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(2,3)(x－3)， 即2x＋3y－12＝0. 20．在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线l2的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A，C的坐标． 解：由题意知直线l1，l2的交点为A，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0,y＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝0))，即A(－1,0)． 又l1⊥BC，∴eq \f(1,2)kBC＝－1， ∴kBC＝eq \f(－1,\f(1,2))＝－2. ∴由点斜式可得BC所在直线的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0. 又l2：y＝0是∠A的平分线所在的直线， ∴点B关于l2的对称点B′在直线AC上，易得点B′的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC的方程为x＋y＋1＝0. 由直线AC和BC的交点为C，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0,2x＋y－4＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝－6))， ∴C(5，－6)． 21．(14分)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小； (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大． 解：(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(n－0,m－2)＝－2,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0))， 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－2,n＝8))，故A′(－2,8)． 又P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立，此时|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2,x－2y＋8＝0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝3))，故所求的点P的坐标为(－2,3)． (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时||PB|－|PA||取得最大值|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点． 又直线AB的方程为y＝x－2，解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－2,x－2y＋8＝0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝12,y＝10))， 故所求的点P的坐标为(12,10)． PAGE 6