关于矩阵秩的证明

______________________________________________________________________________________________________________关于矩阵秩的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 -----09数应鄢丽萍中文摘要在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组约定用E表示单位向量，A表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质：（1）r(A)=r(A);（2）r(kA)=（3）设A,B分别为n×m与m×s矩阵，则r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s}(4)r(A)=n,当且仅当≠0(5)r=r(A)+r(B)≤r(6)r(A-B)≤r(A)+r(B)矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。定理1：设A,B为n×n阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)证:由初等变换可得→→即EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3=由性质5可得r=r则有r(A)+r(B)≥r(A+B)定理2（sylverster公式）设A为s×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n≤r(AB)证：由初等变换可得→→即EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3＝　　　则r=r即r(A)+r(B)-n≤r(AB)推论(Frobenius公式)设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵，C为s×t阶矩阵，则r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)证：设r(B)=r,存在n阶可逆矩阵P，s阶可逆矩阵Q，使B=PQ=PEMBEDEquation.3Q令M=P，N=Q则有B=MN根据定理2r(AMNC)≥r(AM)+r(NC)-r(MN)≥r(AMN)+r(MNC)-r(MN)即r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)定理3设A为n×n矩阵，若A=E，那么有r(A+E)+r(A-E)=n证：根据题意有（A+E）（A-E）=O令A+E=A，A-E=A，有AA=O由定理2可知r(A)+r(A)≤n即r(A+E)+r(A-E)≤n又根据性质6有r(A+E)+r(A-E)≥r[(A+E)-(A-E)]=r(2E)=n故r(A+E)+r(A-E)=n推论设A为n×n矩阵且A=A，那么有r(A)+r(A-E)=n证：事实上，有→→→→=则有r=r故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n定理4设A是s×n实矩阵，有r(E-AA)-r(E-AA)=n-s证:要证r(E-AA)-r(E-AA)=n-s即只要证r(E-AA)+s=r(E-AA)+n由初等变换有→→即EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3=故有r=r=n+r(E-AA)同理可证r=s+r(E-AA)综上有n+r(E-AA)=s+r(E-AA)定理5设A,C均为m×n矩阵，B,D均为n×s矩阵，则有r(AB-CD)≤r(A-C)+r(B-D)证：由分块矩阵的乘法得EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3=故r=r故r(A-C)+r(B-D)≥r(AB-CD)参考文献【1】刘红星.高等代数选讲【M】.北京：机械工业出版社，2009.【2】钱吉林.高等代数题解精粹【M】.北京：中央民族大学出版社，2005.【3】徐忡，等.高等代数考研教案【M】.陕西;西北工业大学出版社，2009.WelcomeToDownload!!!欢迎您的下载，资料仅供参考！精品资料_1414764384.unknown_1414765956.unknown_1414766345.unknown_1414766898.unknown_1414767302.unknown_1414767683.unknown_1414767760.unknown_1414767875.unknown_1414767945.unknown_1414767847.unknown_1414767724.unknown_1414767336.unknown_1414767352.unknown_1414767315.unknown_1414767086.unknown_1414767230.unknown_1414767253.unknown_1414767155.unknown_1414766997.unknown_1414767067.unknown_1414766949.unknown_1414766631.unknown_1414766761.unknown_1414766807.unknown_1414766696.unknown_1414766421.unknown_1414766562.unknown_1414766363.unknown_1414766216.unknown_1414766298.unknown_1414766318.unknown_1414766252.unknown_1414766169.unknown_1414766196.unknown_1414765972.unknown_1414765300.unknown_1414765582.unknown_1414765919.unknown_1414765938.unknown_1414765634.unknown_1414765431.unknown_1414765532.unknown_1414765351.unknown_1414764512.unknown_1414765204.unknown_1414765262.unknown_1414765079.unknown_1414764415.unknown_1414764492.unknown_1414764405.unknown_1414760233.unknown_1414760888.unknown_1414763658.unknown_1414764163.unknown_1414764363.unknown_1414763686.unknown_1414763559.unknown_1414763578.unknown_1414763512.unknown_1414760547.unknown_1414760734.unknown_1414760799.unknown_1414760722.unknown_1414760392.unknown_1414760489.unknown_1414760306.unknown_1414759215.unknown_1414759413.unknown_1414759625.unknown_1414759651.unknown_1414759486.unknown_1414759354.unknown_1414759382.unknown_1414759285.unknown_1414758339.unknown_1414759012.unknown_1414759049.unknown_1414758974.unknown_1414757599.unknown_1414757930.unknown_1414757347.unknown