§4定积分的性质
教学目的：熟练掌握定积分性质及积分中值定理。
重点难点：重点为定积分性质及第一中值定理,难点为推广的积分第一中值定理。
教学方法：讲练结合。
一、定积分的基本性质
性质1 若
上可积，
为常数，则
在
上也可积，且
（1）
证 当
时结论显然成立
当
时，由于
其中
，由
上可积时，故任给
，存在
，当时
时，
，
从而
即
上可积，且
性质2 若
都在
上可积，则
在
上也可积，且
（2）
证明
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与性质1类同．
性质l与性质2是定积分的线性性质，合起来即为
性质3 若
都在
上可积；则
在
上也可积．
证 由
都在
上可积，从而都有界，设
且
(否则
中至少有一个恒为零值函数，于是
亦为零值函
数，结论显然成立)．
任给
，由
可积，必分别存在分割
、
，使得
令
(
表
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示把
、
的所有分割点合并而成的一个新的分割
)．对于
上
所属的每一个
，有
可知
这就证得
在
上可积.
注意，在一般情形下
性质4
在
上可积的充要条件是：任给
，
在
与
上都可积．此时又有等式
(3)
证 [充分性] 由于
在
与
上都可积，故任给
，分别存在对
与
的分割
与
，使得
现令
，它是对
的一个分割，且有
由此证得
在
上可积．
[必要性] 已知
在
上可积，故任给
，存在对
的某分割
，使得
在
上再增加一个分点
，得到一个新的分割
．又有
分割
在
和
上的部分，分别是对
和
的分割，记为
和
，则有
≤
≤
这就证得f在
与
上都可积．
在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3)．为此对
作分割T，恒使点c为其中的一个分点，这时T在
与
上的部分各自构成对
与
的分割，分别记为
与T
．由于
=
，
因此当
(同时有
)时，对上式取极限，就得到(3)式成立． 口
性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性．当
时，(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性．
按定积分的定义，记号
只有当
时才有意义，而当
或
时本来
是没有意义的．但为了运用上的方便，对它作如下规定：
规定l 当
时，令
．
规定2 当
时，令
有了这个规定之后，等式(3)对于
的任何大小顺序都能成立．例如，当
时，只要
在
上可积，则有
性质5 设
为
上的可积函数．若
，则
推论(积分不等式性) 若
与
为
上的两个可积函数，且
，
，则有
（5）
性质6 若
在
上可积，则
在
上也可积，且
（6）
证 由于
在
上可积，故任给
，存在某分割
，使得
.
由绝对值不等式
可得
，于是有
从而证得
在
上可积．
再由不等式
，应用性质5(推论)，即证得不等式（6）成立.
注意 这个性质的逆命题一般不成立，例如
在
上不可积（类似于狄利克雷函数）；但
，它在
上可积.
例1 求
，其中
解 对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即
注1 上述解法中取
，其中被积函数在
处的值已由原来的
改为
，由§3习题第3题知道这一改动并不影响
在
上的可积性和定积分的值.
注2 如果要求直接在
上使用牛顿—莱布尼次公式来计算
这时
应取怎样的函数？读者可对照§2习题第3题来回答.
例2 证明若
在
上连续，且
.
证 用反证法.倘若有某
则由连续函数的局部保号性，存在
的某领域
（当
或
时，则为右邻域或左邻域），使在其中
.由性质4和性质5推知
这与假设
相矛盾.所以
注 从此例证明中看到，即使
为一非负可积函数，只要它在某一点
处连续，且
，则必有
．(至于可积函数必有连续点，这是一个较难证明的命题，读者可参阅§6习题第7题．)
二 积分中值定理
定理9．7 (积分第一中值定理)若
在
上连续，则至少存在一点
，使得
（7）
证 由于
在
上连续，因此存在最大值
和最小值
．由
使用积分不等式性质得到
或
再由连续函数的介值性，至少存在一点
，使得
（
）
这就证得(7)式成立．
积分第一中值定理几何意义为，若
在
上非负连续，
则
在
上的曲边梯形面积等于以
为高，
为底的矩形面积．而
可理解为
在区间
上所有函数值的平均值．这是通常有限个数算术平均值的推广．
例3 试求
在
上的平均值.
解 所求平均值为
定理9．8(推广的积分第一中值定理) 若
与
都在
上连续，且
在
上不变号，则至少存在一点
，使得
（8）
(当
时，即为定理9．6．)
证 不妨设
，
．这时有
其中
分别为
在
上的最大、最小值．由定积分的不等式性质，得到
若，
，则由上式知
，从而对任何
，（8）式都成立.若
，则得
.
由连续函数的介值性，必至少有一点，使得
便证得（8）式成立。
注 事实上，定理9.7和定理9.8中的中值点
必能在开区间
内取得.
作业:2(2),4,5
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