数列求和
方法
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盘点
等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一,一般数列求和的基本思想是将其通项变形,化归为等差数列或等比数列的求和问题,或利用代数式的对称性,采用消元等方法来求和.
下面我们结合具体实例来研究求和的方法.
一、直接求和法(或公式法)
将数列转化为等差或等比数列,直接运用等差或等比数列的前n项和公式求得.
例1 求
.
解:原式
.
由等差数列求和公式,得原式
.
二、倒序相加法
此方法源于等差数列前n项和公式的推导,目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取,以便化简后求和.
例2 求
的和.
分析:由于数列的第
项与倒数第
项的和为常数1,故采用倒序相加法求和.
解:设
则
.
两式相加,得
.
小结:对某些具有对称性的数列,可运用此法.
三、裂项相消法
如果一个数列的每一项都能化为两项之差,而前一项的减数恰与后一项的被减数相同,一减一加,中间项全部相消为零,那么原数列的前n项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k项之积,且分子为常数的分式型数列的求和.
例3 已知
,
求
的和.
分析:首先将数列的通项公式化简,然后注意到它可写成两项的差,在求和的过程中,中间的项相互抵消了,从而可求出原数列的前n项和.
解:
,
小结:如果数列
的通项公式很容易
表
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示成另一个数列
的相邻两项的差,即
,则有
.这种方法就称为裂项相消求和法.
四、错位相减法
源于等比数列前n项和公式的推导,对于形如
的数列,其中
为等差数列,
为等比数列,均可用此法.
例4 求
的和.
解:当
时,
;
当
时,
.
小结:错位相减法的步骤是:①在等式两边同时乘以等比数列
的公比;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n项和公式求和.
五、分组求和法
若数列的通项是若干项的代数和,可将其分成几部分来求.
例5 求数列
,
的前
项和
.
分析:此数列的通项公式是
,而数列
是一个等差数列,数列
是一个等比数列,故采用分组求和法求解.
解:
.
小结:在求和时,一定要认真观察数列的通项公式,如果它能拆分成几项的和,而这些项分别构成等差数列或等比数列,那么我们就用此方法求和.