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第7章多元函数积分学.doc

第7章多元函数积分学

xu素素
2019-02-22 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《第7章多元函数积分学doc》,可适用于高等教育领域

第七章多元函数积分学§第一型积分一.基本内容定义:设是空间中可度量的几何图形函数在上有定义分割将分成若干可度量的小块设的度量为用表示的直径记在上任取一点作和式:如果,使得当时对任意的分割及任意的的取法总有.则称为在上的积分记作.特别地,当为闭区间时称为定积分记作.当为平面区域时称为二重积分记作当为空间区域时称为三重积分记作当为空间中的曲线段时称为第一型曲线积分记作当为空间中的曲面时称为第一型曲面积分记作.可积条件必要条件:函数在上可积的必要条件是函数在上有界.充要条件:(ⅰ)函数在上可积的充要条件是:         其中为函数在上的振幅(ⅱ)函数在上可积的充要条件是:使充分条件:函数在上连续则函数在上可积性质设函数均在上可积则被积函数的线性可加性:积分区域的可加性:若=可度量且的度量为则乘积的可积姓:在上可积保不等式性:若在上有则绝对可积性:在上可积且若在上有,且的度量为,则有若在上连续,且为连通的,则在上至少存在一点,使特别地,第一型积分的计算二重积分的计算(ⅰ)设区域为型区域,其中为上的连续函数且在上连续则(ⅱ)若区域为型区域:其中为上的连续函数且在上连续则.(ⅲ)二重积分的变量替换若函数在有界闭域上可积函数组将平面上区域一对一变换为平面上的区域,且函数组在上对存在一阶连续偏导数,,则特别地,令得极坐标变换公式:令得广义极坐标变换公式:.三重积分的计算(ⅰ)设函数在空间有界闭域:上连续,其中为在面上的投影区域,在上连续,则(ⅱ)若函数在空间有界闭域:上连续其中为平面去截所得的截口,则(ⅲ)三重积分的变量替换若函数在空间有界闭域上连续函数组,将空间中的区域一对一的变换为空间中的区域且函数组在上具有一阶连续偏导数,其雅可比行列式在上处处不为,则特别地令得柱面坐标变换公式:.令得球坐标变换公式:.令得广义球坐标变换公式:.第一型曲线积分的计算设有光滑曲线:函数为定义在上的连续函数则.第一型曲面积分的计算(ⅰ)设有光滑曲面,在上连续,则(ⅱ)若光滑曲面的参数方程为::在上连续则其中.且要求雅可比行列式至少有一个不为.二难点解析与重要结果第一型积分的性质之所以类似是由于他们所作的积分和的形式均为函数值乘以各自的度量而度量是非负的因而第一型积分在理论上具有很高的相似度.例如在定积分中我们有若在上非负连续且则.在二重积分中同样有:若在矩形上非负连续且.则在上恒为等.二重积分的变量替换中极坐标变换主要适用适用于积分区域为圆域或被积函数为的形式广义极坐标变换主要适用于积分区域为椭圆域被积函数中含的成份三重积分的柱面坐标变换适用于积分区域为圆柱体或被积函数含的成分球坐标变换适用于积分区域为球体或被积函数中含的成份广义球坐标变换适用于积分区域为椭球体或被积函数中含的成份.在第一型积分的计算过程中应充分的利用对称性以达到简化计算的目的以二重积分为例我们有若积分区域关于轴对称为的奇(偶)函数则其中为的上半部分.若积分区域关于轴对称为的奇(偶)函数则 其中为的右半部分.若积分区域关于原点对称则其中为的上半平面.若积分区域关于对称则.其它的第一型积分均有类似的结论.设则由此推出.三基本题型与方法变换积分次序.此类问题的一般处理方法是首先根据所给累次积分的上、下限写出积分区域满足的不等式组画出的草图再按所要求的次序重新写出满足的不等式组据新的不等式组写出新的累次积分.例更换下列积分次序...解 因 :  :作曲线:在图中找出与和.       图由右图易知可表示为::,所以.因 :作得图作将分为两部分对作解与的边界的交点为.故:.图同理:.故有.重积分的值的估计此类问题的一般处理方法与定积分的值的估计处理方法类似一般来讲主要是通过对被积函数的放缩或积分区域的放缩来得相应的不等式.在被积函数的放缩中最常见的是通过求函数的最值来进行放缩.例 设证明:.证明:设由于故在内无驻点故其最值必在边界上取得.令令得及.而及在有界边界上连续知在上的最大值为最小值为于是.关于变限重积分的问题(含参量重积分)变限重积分问题的处理方法主要是将重积分转化为累次积分最后把问题转化为变限积分来进行处理含参量重积分的理论可完全仿照含参量积分的理论来建立.例设函数连续令求设函数在连续且满足:求解 则且于是显然且故  所以  解微分方程得又故第一型积分的计算此类问题主要是用公式将第一型积分转化为累次积分进行计算在此过程中要注意转化次序可能需要引入适当地变量替换等方面的问题例计算下列积分,其中是由及三个坐标面围成为螺旋线:,的一段是半球面含在柱面内的部分.解:由于无法求出故需改变积分次序由于也可以表示为:故有.由于可表示为:故.曲面在面上的投影为::且曲面的方程为:故于是有例 计算下列积分.其中.:球面及平面所交之图形.求球面:被平面和所夹部分的面积.解:作球坐标变换 故变为:所以.利用对称性有:所以.的方程为:在面上的投影为::.故所求的面积为.四综合举例例 改变累次积分:为先对后对最后对的积分.解:积分区域:将改写成::和:故有.例 设在:上有一阶连续偏导数边界上取值为证明:.证明:记由已知条件知,由原点向引射线交于点则由泰勒公式有,其中为介于和之间线段上的一点  所以.例计算.解 将区域分成两个部分与(如图)在中,在中,则.例计算积分其中为由平面曲线,,所围成的有界闭域.解:作变换则且积分区域变为,从而.§第二型积分及各种积分间的联系一.基本内容第二型曲线、曲面积分的定义定义设函数与定义在平面有向可求长曲线上对的任一分割它把分成几个小弧段其中.记小弧段的弧长为分割的细度又设的坐标为并记.在每一个小弧度上任取一点若极限存在且与分割与点的取法无关则称此极限为函数沿有向曲线上的第二型曲线积分记作或定义设为定义在双侧曲面上的函数在指定的一侧作分割它把分个小曲面分割的细度{的直径}以分别表示在面面面上的投影区域的面积它们的符号由的方向确定.若的法线正向与轴正向之间的夹角为锐角时取正值否则取负值在各个小曲面上任取一点若极限存在且与曲面的分割及点的取法无关则称此极限值为函数在曲面所指定一侧上的第二型曲面积分记为.第二型积分的性质.若均存在为常数则..第二型曲面积分的性质与第二型曲线积分的性质完全类似.第二型积分的计算设平面曲线其中在上具有一阶连续偏导数且又设为上的连续函数则沿从到的第二型曲线积分设是定义在光滑曲面上的连续函数以的上侧为正侧则有第一、二型曲线积分之间的联系设为平面上有向光滑曲线段在上任一点处与方向相同的切矢量的方向余弦为则第一、二型曲面积分间的联系设为一光滑曲面正侧单位法向量为在上连续则.二重积分与第二型曲线积分的联系格林公式设是以光滑曲线为边界的平面单连通区域函数在及上具有一阶连续偏导数则有曲线积分与路径的无关性设是单连通闭区域若函数在内具有一阶连续偏导数则下面四个条件等价:(ⅰ)沿内的任一按段光滑闭曲线有(ⅱ)对中任一按段光滑曲线曲线积分与路径无关仅与起点与终点有关(ⅲ)为内某个函数的全微分即(ⅳ)在内处处成立三重积分与第二型曲面积分之间的联系(高斯公式)设空间区域由分片光滑的双侧闭曲面围成若函数在上具有一阶连续偏导数则.第二型曲线积分与第二型曲面积分之间的联系(斯托克斯公式)设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线若在与上具有一阶连续偏导数则空间曲线的积分与路径的无关性设为空间单连通区域若函数在上具有一阶连续偏导数则下列四种说法等价(ⅰ)对于内任一按段光滑的闭曲线有(ⅱ)对于内任一按段光滑曲线曲线积分与路径无关(ⅲ)为内某一函数的全微分即(ⅳ)在内处处有二.难点解析与重要结果由于第二型积分的积分和是函数值乘以有向曲线段或有向曲面段的投影长度或面积它是带有符号的因而第二型积分不具有保不等性及积分第一中值定理等性质.例如:设其正向为逆时针方向则而对圆上任一点有即有.设在上连续为光滑曲线段弧长为则有.其中.设使定义在光滑曲面上的连续函数以的上侧为正侧则 .如果光滑曲面由参数方程给出若在上各点的行列式不同时为则有.其中正负号的选取由的侧决定当的正方向对应的正侧时取正号否则取负号.三.基本题型与方法第二型积分的计算此类问题的解法主要有如下几种:一是直接用第二型积分的计算公式直接计算二是利用积分间的相互关系将其转化为其它类型的积分进行计算三是利用积分与路径的无关性变换积分路径或求原函数.

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