黄冈中学高考数学重点题型分析
{高考预测题黄冈题库}
1高考数学分类讨论重点题型分析
2高考数学函数重点题型分析
3高考数学排列与组合重点题型分析
4三角函数定义与三角变换题型分析
5正、余弦函数的有界性之解题作用
6高考数学数列重点题型分析
7高考数学数列专项训练题
8高考数学
知识点
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考点常见结论详解
9既准又快中档题训练---确保不丢分
1高考数学分类讨论重点题型分析
复习目标:
1．掌握分类讨论必须遵循的原则
2．能够合理，正确地求解有关问题
命题分析:
分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.
重点题型分析:
例1．解关于x的不等式:
(黄冈，二模 理科）
解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a2)<0
（下面按两个根的大小关系分类）
（1）当a>a2a2-a<0即 0
0即a<0或a>1时，不等式的解为:x(a, a2)
（3）当a=a2a2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x2<0或(x-1)2<0
不等式的解为 x.
综上，当 01时，x(a,a2)
当a=0或a=1时，x.
评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.
例2．解关于x的不等式 ax2+2ax+1>0(aR)
解:此题应按a是否为0来分类.
（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R.
（2）a0时分为a>0 与a<0两类
①
时，方程ax2+2ax+1=0有两根
.
则原不等式的解为
.
②
时，
方程ax2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-，+）.
③
时，
方程ax2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-,-1)∪(-1,+).
④
时，
方程ax2+2ax+1=0有两根，
此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:
.
⑤
综上:
当0≤a<1时，解集为（-，+）.
当a>1时，解集为
.
当a=1时，解集为(-,-1)∪(-1,+).
当a<0时，解集为
.
例3．解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R)(黄冈，二模 理科）
解:原不等式可化为 ax2+(a-2)x-2≥0,
(1)a=0时，x≤-1，即x∈(-∞,-1].
(2)a0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.
① a>0时， 不等式化为
，
当
，即a>0时，不等式解为
.
当
，此时a不存在.
② a<0时，不等式化为
，
当
，即-20时，x∈
.
-22时，t=1，
解方程得:
（舍）.
(2)当
时，即-2≤a≤2时，
,
,
解方程为:
或a=4（舍）.
(3)当
即a<-2时， t=-1时，ymax=-a2+a+5=2
即 a2-a-3=0 ∴
, ∵ a<-2, ∴
全都舍去.
综上，当
时，能使函数f(x)的最大值为2.
例5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:
.
证明:（1）当q=1时，Sn=na1从而
（2）当q≠1时，
， 从而
由（1）（2）得:
.
∵ 函数
为单调递减函数.∴
.
例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.
分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.
解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为
，一条渐近线的斜率为
， ∴ b=2.∴
.
（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为
，此时
.
综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于
.
评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.
例7．解关于x的不等式
.(黄冈2010，二模 理科）
解:原不等式
由(1) a=1时，x-2>0, 即 x∈(2,+∞).
由(2)a<1时，
，下面分为三种情况.
①
即a<1时，解为
.
②
时，解为.
③
即01时，
的符号不确定，也分为3种情况.
①
a不存在.
②
当a>1时，原不等式的解为:
.
综上:
a=1时，x∈(2,+∞).
a<1时，x∈
a=0时，x.
01时，x∈
.
评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:
10:明确讨论的对象，确定对象的全体；
20:确定分类
标准
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，正确分类，不重不漏；
30:逐步进行讨论，获得结段性结记；
40:归纳总结，综合结记.
课后练习:
1．解不等式
2．解不等式
3．已知关于x的不等式
的解集为M.
（1）当a=4时，求集合M:
（2）若3M，求实数a的取值范围.
4．在x0y平面上给定曲线y2=2x, 设点A坐标为(a,0), aR，求曲线上点到点A距离的最小值d，并写成d=f(a)的函数表达式.
参考答案:
1.
2.
3. (1) M为
(2)
4.
.
2高三数学函数重点题型分析
复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
复习难点：树立数形结合的思想，函数方程的思想解决有关问题。
主要内容：
（一）基本问题
1.定义域 2.对应法则 3.值域
4.图象问题 5.单调性 6.奇偶性（对称性）
7.周期性 8.反函数 9.函数值比大小
10.分段函数 11. 函数方程及不等式
（二）基本问题中的易错点及基本方法
1．集合与映射
<1>认清集合中的代表元素
<2>有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。还应注意空集的情形，验算端点。
2．关于定义域
<1>复合函数的定义域，限制条件要找全。
<2>应用问题实际意义。
<3>求值域，研究函数性质（周期性，单调性，奇偶性）时要首先考察定义域。
<4>方程，不等式问题先确定定义域。
3．关于对应法则
注：<1>分段函数，不同区间上对应法则不同
<2>联系函数性质求解析式
4．值域问题
基本方法：<1>化为基本函数——换元（新元范围）。化为二次函数，三角函数，……并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。
<2>均值不等式：——形如和，积，及
形式。注意识别及应用条件。
<3>几何背景：——解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。
易错点：<1>考察定义域
<2>均值不等式使用条件
5．函数的奇偶性，单调性，周期性。
关注问题：<1>判定时，先考察定义域。
<2>用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x1及x2。
<3>求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。
<4>由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。
<5>“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，求出函数周期。
6．比大小问题
基本方法：<1>粗分。如以“0”，“1”，“-1”等为分界点。
<2>搭桥 <3>结合单调性，数形结合
<4>比差、比商 <5>利用函数图象的凸凹性。
7．函数的图象
<1>基本函数图象
<2>图象变换 ①平移 ②对称（取绝对值） ③放缩
易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。如下：
取绝对值（对称）与平移
例：由
图象，经过如何变换可得下列函数图象？
<1>
<2>
分析：<1>
<2>
评述：要由
得到
只能按上述顺序变换，两顺序不能交换。
平移与关于y=x对称变换
例：y=f(x+3)的反函数与y=f-1(x+3)是否相同？
分析：①
的反函数。
②
∴两个函数不是同一个函数（也可以用具体函数去验证。）
（三）重点题型例题：
例1．判断函数
的奇偶性及周期性。
分析：<1>定义域：
∴ f(x)定义域关于原点对称，如图：
又
∴ f(-x)=-f(x),
∴ f(x)周期的奇函数。
评述：研究性质时关注定义域。
例2．<1>设f(x)定义在R上的偶函数，且
，又当x∈[-3,-2]时，f(x)=2x，求f(113.5)的值。
<2>已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解：<1>∵
∴
， ∴ f(x)周期T=6，
∴ f(113.5)=f(619-0.5)=f(-0.5).
当x∈(-1,0)时，x+3∈(2,3).
浙公网安备 33021202002483