指数函数和对数函数
重点、难点：
重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数
在
及
两种不同情况。
1、指数函数：
定义：函数
叫指数函数。
定义域为R，底数是常数，指数是自变量。
为什么要求函数
中的a必须
。
因为若
时，
，当
时，函数值不存在。
，
，当
，函数值不存在。
时，
对一切x虽有意义，函数值恒为1，但
的反函数不存在， 因为要求函数
中的
。
1、对三个指数函数
的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（1）图象都位于x轴上方；
（1）x取任何实数值时，都有
；
（2）图象都经过点（0，1）；
（2）无论a取任何正数，
时，
；
（3）
在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，
的图象正好相反；
（3）当
时，
当
时，
（4）
的图象自左到右逐渐上升，
的图象逐渐下降。
（4）当
时，
是增函数，
当
时，
是减函数。
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如
和
相交于
，当
时，
的图象在
的图象的上方，当
，刚好相反，故有
及
。
②
与
的图象关于y轴对称。
③通过
，
，
三个函数图象，可以画出任意一个函数
（
）的示意图，如
的图象，一定位于
和
两个图象的中间，且过点
，从而
也由关于y轴的对称性，可得
的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
2、对数：
定义：如果
，那么数b就叫做以a为底的对数，记作
（a是底数，N 是真数，
是对数式。）
由于
故
中N必须大于0。
当N为零的负数时对数不存在。
（1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：
求
分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成
，再改写为指数式就比较好办。
解：设
评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求
中的
，化为对数式
即成。
（2）对数恒等式：
由
将（2）代入（1）得
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。
计算：
解：原式
。
（3）对数的性质：
①负数和零没有对数；
②1的对数是零；
③底数的对数等于1。
（4）对数的运算法则：
①
②
③
④
3、对数函数：
定义：指数函数
的反函数
叫做对数函数。
1、对三个对数函数
的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（1）图象都位于 y轴右侧；
（1）定义域：R+，值或：R；
（2）图象都过点（1，0）；
（2）
时，
。即
；
（3）
，
当
时，图象在x轴上方，当
时，图象在x轴下方，
与上述情况刚好相反；
（3）当
时，若
，则
，若
，则
；
当
时，若
，则
，若
时，则
；
（4）
从左向右图象是上升，而
从左向右图象是下降。
（4）
时，
是增函数；
时，
是减函数。
对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：
（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是
与
在点（1,0）曲线是交叉的，即当
时，
的图象在
的图象上方；而
时，
的图象在
的图象的下方，故有：
；
。
（2）
的图象与
的图象关于x 轴对称。
（3）通过
，
，
三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作
的图象，它一定位于
和
两个图象的中间，且过点（1,0），
时，在
的上方，而位于
的下方，
时，刚好相反，则对称性，可知
的示意图。
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
4、对数换底公式：
由换底公式可得：
由换底公式推出一些常用的结论：
（1）
（2）
（3）
（4）
5、指数方程与对数方程*
定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法：
名称
题型
解法
基本型
同底数型
不同底数型
需代换型
取以a为底的对数
取以a为底的对数
取同底的对数化为
换元令
转化为
的代数方程
对数方程的题型与解法：
名称
题型
解法
基本题
对数式转化为指数式
同底数型
转化为
（必须验根）
需代换型
换元令
转化为代数方程
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