第一宇宙速度的含意(高一)
彭厚裕 (湖北省松滋市言程中学 434200)
含意一、第一宇宙速度是贴近地球
表
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面做匀速圆周运动的卫星的线速度
这是第一宇宙速度最基本的含意,根据这个含意可以推算第一宇宙速度的大小。设地球质量为M,地球半径为R,地面的重力加速度为g,卫星质量为m,线速度为v,万有引力常量为G,根据牛顿第二定律可得:
若忽略地球自转的影响,则有:
由以上两式解得:
或
这就是计算第一宇宙速度的两个公式,代入相关数据可以求得
含意二、第一宇宙速度是地球卫星做匀速圆周运动的最大速度
当地球卫星做圆周运动的轨道半径为r时,卫星的线速度为
,此式说明卫星的轨道半径越小,卫星的速度越大。第一宇宙速度是贴近地球表面做匀速圆周运动的卫星的速度,此时卫星的轨道半径最小,因而速度最大。
当卫星的速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度时,卫星将沿椭圆轨道运行,也就是说,卫星的速度是可以大于第一宇宙速度的,例如我国的嫦娥一号飞船在进入地月转移轨道时,在近地点的速度约为
。因此第一宇宙速度是地球卫星做匀速圆周运动的最大速度,而不是地球卫星的最大速度。
含意三、当地球卫星以第一宇宙速度做匀速圆周运动时,卫星的运行周期最短
根据开普勒第三定律,所有卫星绕地球运动的轨道的半长轴的三次方跟运行周期平方的比值都相等,即
,k是一个与卫星无关的常量。第一宇宙速度是贴近地球表面做圆周运动的卫星的速度,此时卫星轨道的半长轴最小,因而运行周期也最短。由公式
可求得这个最小周期大约为5064s,即大约是84min,所有地球卫星的运行周期都不会小于这个值。例如我国的神舟系列飞船都是近地卫星,飞行周期大约是90min,即大约每1.5h环绕地球飞行一周。
含意四、第一宇宙速度是发射地球卫星时要达到的最小速度
第一宇宙速度是地球卫星贴近地面做匀速圆周运动所必须具有的速度。如果把卫星从地面发射出去的速度小于第一宇宙速度,地球对卫星的引力大于卫星做圆周运动所需的向心力,卫星就会落回地面。如果把卫星从地面发射出去的速度大于第一宇宙速度,地球对卫星的引力小于卫星做圆周运动所需的向心力,卫星就会做离心运动,如果卫星的速度不大于第二宇宙速度,卫星就不会脱离地球引力,从而沿椭圆轨道运动。
卫星的轨道半径越大,运行的速度越小。那么,是不是向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星需要的速度小呢?不是的,因为向高轨道发射卫星,要克服地球引力做功,因而需要更大的发射速度,对于这个问题,我们可以通过下面的例子来理解。
发射地球同步卫星的简化过程如右图所示,先将卫星发射进入椭圆轨道Ⅰ,然后在Q点通过改变卫星速度,让卫星进入地球同步轨道Ⅱ。根据上面的分析,要把卫星发射进入椭圆轨道Ⅰ,卫星的发射速度必须大于第一宇宙速度,卫星在从近地点P向远地点Q飞行的过程中,要克服地球引力做功,速度会不断减小,因此卫星到达远地点Q时,其速度小于第一宇宙速度,这时必须再一次让卫星点火加速,才能使它进入同步轨道Ⅱ。
综上所述,要让卫星进入地球轨道,发射速度不能小于第一宇宙速度。实际上,由于第一宇宙速度很大,我们还不能一次就让卫星达到这个速度,而是通过多级火箭不断助推加速,逐步达到这个速度。
例题1 已知月球的质量约为地球质量的1/81,月球的半径约为地球半径的1/4,地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s,则我国“嫦娥一号“绕月运行的速率约为( )(设该卫星绕月运行的轨道是圆形的,且贴近月球表面)
A.0.4km/s B.1.8km/s C.11km/s D.36km/s
解析 根据第一宇宙速度的含意一,可求得“嫦娥一号” 绕月运行的速率和第一宇宙速度之比为:
解得:
,答案为B。
例题2 宇航员在月球上做自由落体这实验,将某物体由距月球表面高h处释放,经时间t后落月球表面(设月球半径为R),据上述信息推断。飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 设月球表面的重力加速度为g,据运动学公式有:
类比第一宇宙速度,飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为:
解得:
,答案为B。