2017年高考数学-江苏卷试题解析

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学I 参考公式： 柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高． 球的体积，其中是球的半径． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合，，若，则实数的值为 ▲ ． 【答案】1 【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1． 2．已知复数，其中i是虚数单位，则的模是 ▲ ． 【答案】 【解析】，故答案为． 3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18． 4．右图是一个算法流程图，若输入的值为，则输出的值是 ▲ ． 【答案】 【解析】由题意得，故答案为． 5．若则 ▲ ． 【答案】 【解析】．故答案为． 6．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 ▲ ． 【答案】 【解析】设球半径为，则．故答案为． 7．记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是 ▲ ． 【答案】 8．在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，则四边形的面积是 ▲ ． 【答案】 【解析】右准线方程为，渐近线方程为，设，则，，，则． 9．等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则= ▲ ． 【答案】32 10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ▲ ． 【答案】30 【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立． 11．已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ▲ ． 【答案】 【解析】因为，所以函数是奇函数， 因为，所以数在上单调递增， 又，即，所以，即， 解得，故实数的取值范围为． 12．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则 ▲ ． 【答案】3 【解析】由可得，，根据向量的分解， 易得，即，即，即得， 所以． 13．在平面直角坐标系中，点在圆上，若则点的横坐标的取值范围是 ▲ ． 【答案】 14．设是定义在上且周期为1的函数，在区间上，其中集合，，则方程的解的个数是 ▲ ． 【答案】8 【解析】由于，则需考虑的情况， 在此范围内，且时，设，且互质， 若，则由，可设，且互质， 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此， 因此不可能与每个周期内对应的部分相等， 只需考虑与每个周期的部分的交点， 画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分， 且处，则在附近仅有一个交点， 因此方程的解的个数为8． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC． 16．（本小题满分14分） 已知向量 （1）若a∥b，求x的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值． （2）． 因为，所以，从而． 于是，当，即时，取到最大值3； 当，即时，取到最小值． 17．（本小题满分14分） 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c． 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，， 解得，于是，因此椭圆E的标准方程是． （2）由（1）知，，． 设，因为为第一象限的点，故． 当时，与相交于，与题设不符． 由①②，解得，所以． 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或． 又在椭圆E上，故． 由，解得；，无解． 因此点P的坐标为． 18．（本小题满分16分） 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度； （2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度． 【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，． 记玻璃棒的另一端落在上点处． 因为，所以，从而， 记与水面的交点为，过作P1Q1⊥AC，Q1为垂足， 则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1=． 答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm． (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm) 过G作GK⊥E1G1，K为垂足，则GK =OO1=32． 因为EG = 14，E1G1= 62， 所以KG1=，从而． 设则． 因为，所以． 在中，由正弦定理可得，解得． 因为，所以． 于是． 记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH， 故P2Q2=12，从而EP2=． 答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm． (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 19．（本小题满分16分） 对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”． （1）证明：等差数列是“数列”； （2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列． 【解析】（1）因为是等差数列，设其公差为，则， 从而，当时， ， 所以， 因此等差数列是“数列”． ，④ 将③④代入②，得，其中， 所以是等差数列，设其公差为． 在①中，取，则，所以， 在①中，取，则，所以， 所以数列是等差数列． 20．（本小题满分16分） 已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：； （3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围． 当时，，故在R上是增函数，没有极值； 当时，有两个相异的实根，． 列表如下： x + 0 – 0 + 极大值 极小值 故的极值点是．从而．因此，定义域为． （2）由（1）知，．设，则． 当时，，从而在上单调递增． 因为，所以，故，即．因此． 记，所有极值之和为， 因为的极值为，所以，． 因为，于是在上单调递减． 因为，于是，故．因此a的取值范围为． 数学Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分) 如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足． 求证：（1）； （2）． 【解析】（1）因为切半圆O于点C，所以， 因为为半圆O的直径，所以． 因为AP⊥PC，所以，所以． （2）由（1）知，，故，即． B．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵 （1）求； （2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程． C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为(为参数)，曲线的参数方程为 (为参数)．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值． 【解析】直线的普通方程为．因为点在曲线上，设， 从而点到直线的的距离，当时，． 因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值． D．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分） 已知为实数，且证明： 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，． （1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A1D-A的正弦值． 【解析】在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E． 因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD． 如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz． 因为AB=AD=2，AA1=，． 则． （1）， 则． 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为． 设二面角B-A1D-A的大小为，则． 因为，所以．因此二面角B-A1D-A的正弦值为． 23．（本小题满分10分） 已知一个口袋中有个白球，个黑球()，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉． 1 2 3 （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率； （2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明：． 【解析】（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为：． （2）随机变量X的概率分布为 X … … P … … 随机变量X的期望为． 所以 ， 即．