1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．
2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．
（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；
（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．
3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．
（1）当CE=1时，求△BCE的面积；
（2）求证：BD=EF+CE．
4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且
．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．
（1）求证：OF∥BC；
（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=
，CF=6．
（1）求线段CD的长；
（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣
∠EBC．
6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．
（1）若AB=6cm，
，求梯形ABCD的面积；
（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．
7、已知：如图，
ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．
8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．
（1）求证：DP平分∠ADC；
（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．
10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；
（1）证明：EF=EA；
（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．
11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
（1）求证：EB=EF；
（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．
12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．
（1）求证：AE=GF；
（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．
13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．
（1）求证：FC=BE；
（2）若AD=DC=2，求AG的长．
14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．
（1）求证：AD=BE；
（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．
15、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．
（1）求证：AD=AE；
（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．
16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．
（1）求证：AE⊥BD； （2）若AD=4，BC=14，求EF的长．
17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AD=3，DC=4，求AE．
18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．
19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且
．
（1）求证：BF=EF﹣ED；
（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．
20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．
（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长．
（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．
21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．
（1）求证：DH=
（AD+BC）；
（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．
22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．
（1）求证：△AGE≌△DAB；
（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．
23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．
（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；
（2）若AD=1，BC=3，DC=
，试判断△DCF的形状；
（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．
24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）求∠BPF的度数．
25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．
（1）求∠ABC的度数；
（2）如果BC=8，求△DBF的面积？
26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．
（1）求证：△AGD为正三角形；
（2）求EF的长度．
27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．
（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．
（2）求证：ED=BE+FC．
28、（2005?镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△AFE；
（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．
29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
求证：
（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE；
（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．
30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．
参考
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．
证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，
∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE=CE；
（2）延长CD和BE的延长线交于H，
∵BF⊥CD，∠HEC=90°，
∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°
∴∠EBF=∠ECH，
又∠BEC=∠CEH=90°，
BE=CE（已证），
∴△BEG≌△CEH，
∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，
∵△BAE≌△CDE（已证），
∴∠AEB=∠GED，
∠HED=∠AEB，
∴∠GED=∠HED，
又EG=EH（已证），ED=ED，
∴△GED≌△HED，
∴DG=DH，
∴BG=DG+CD．
2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．
（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；
（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．
（1）证明：∵HE=HG，
∴∠HEG=∠HGE，
∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，
∴∠BEH=∠FGC，
∵G是HC的中点，
∴HG=GC，
∴HE=GC，
∵∠HBE=∠CFG=90°．
∴△EBH≌△GFC；
（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，
∴AD=DF，
∵DF=DC﹣FC，
∵△EBH≌△GFC，
∴FC=BH=1，
∴AD=4﹣1=3．
3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一
点，且EB⊥AB，EF⊥AF．
（1）当CE=1时，求△BCE的面积；
（2）求证：BD=EF+CE．
（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．
（1）解：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴
，
∵DC∥AB，AD=BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，
∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE=2，
，
∴
…（5分）
（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，
∴四边形FDME是矩形，
∴FE=DM，
∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，
∴△BME≌△ECB，
∴BM=CE，
∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）
4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且
．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．
（1）求证：OF∥BC；
（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∵EF∥CA，EG∥CA，
∴四边形ACEG是平行四边形，
∴AG=CE，
又∵
，AD=BC，
∴
，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠ECF，
在△CEF和△DGF中，
∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，
∴△CEF≌△DGF（AAS），
∴CF=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OF∥BE．
（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．
证明：∵OF∥CE，EF∥CO，
∴四边形OCEF是平行四边形，
∴EF=OC，
又∵梯形OBEF是等腰梯形，
∴BO=EF，
∴OB=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E
，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=
，CF=6．
（1）求线段CD的长；
（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣
∠EBC．
（1）解：连接BD，
由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，
又∵BF⊥CD，
∴∠DFE=90°
又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，
∴△GAD≌△EFD，
∴DA=DF，
又∵BD=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），
∴BF=BA=
，∠ADB=∠BDF
又∵CF=6，
∴BC=
，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠BDF=∠CBD，
∴CD=CB=8．
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠E=∠CBF，
∵∠HDF=∠E，
∴∠HDF=∠CBF，
由（1）得，∠ADB=∠CBD，
∴∠HDB=∠HBD，
∴HD=HB，
由（1）得CD=CB，
∴△CDH≌△CBH，
∴∠DCH=∠BCH，
∴∠BCH=
∠BCD=
=
．
6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．
（1）若AB=6cm，
，求梯形ABCD的面积；
（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．
解：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图，
在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB=
=
，
∴AC=10，
∴BC=8，
在Rt△CDM中，∠D=45°，
∴DM=CM=AB=6，
∴AD=6+8=14，
∴梯形ABCD的面积=
?（8+14）?6=66（cm2）；
（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，
∵∠D=45°，
∴△DNG为等腰直角三角形，
∴DN=GN，
又∵AD∥BC，
∴∠BFH=∠FHN，
而∠EFH=∠FHG，
∴∠BFE=∠GHN，
∵EF=GH，
∴Rt△BEF≌Rt△NGH，
∴BE=GN，BF=HN，
∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．
7、已知：如图，?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD
于点E．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．
（1）证明：如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵DF=CD，
∴AB∥DF．
∵DF=CD，
∴AB=DF．
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AE=DE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD．
∴∠COD=90°．
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴AF∥BD．
∴∠CAF=∠COD=90°．
8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
（1）证明：在△DAE和△DCE中，
∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），
ED=DE（公共边），
AE=CE（正方形的四条边长相等），
∴△DAE≌△DCE （SAS），
∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；
（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；
又∵CG=CE（已知），
∴∠G=∠CEG（等边对等角）；
而∠CEG=2∠EAC（外角定理），
∠ECB=2∠CEG（外角定理），
∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，
∴∠G=∠CEG=30°；
过点C作CH⊥AG于点H，
∴∠FCH=30°，
∴在直角△ECH中，EH=
CH，EG=2
CH，
在直角△FCH中，CH=
CF，
∴EG=2
×
CF=3CF．
9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．
（1）求证：DP平分∠ADC；
（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．
（1）证明：连接PC．
∵ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF．（SAS）
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．
∴∠EAF=∠BAD=90°．
∵P是EF的中点，
∴PA=
EF，PC=
EF，
∴PA=PC．
又 AD=CD，PD公共，
∴△PAD≌△PCD，（SSS）
∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；
（2）作PH⊥CF于H点．
∵P是EF的中点，
∴PH=
EC．
设EC=x．
由（1）知△EAF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，
∴EF=2x，FC=
x，BE=2﹣x．
在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（
x）2解得 x1=﹣2﹣2
（舍去），x2=﹣2+2
．
∴PH=﹣1+
，FD=
（﹣2+2
）﹣2=﹣2
+4．
∴S△DPF=
（﹣2
+4）×
=3
﹣5．
10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；
（1）证明：EF=EA；
（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．
（1）证明：
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．
∵E为CD的中点，
∴ED=EC．
∴△ADE≌△FCE．
∴EF=EA．（5分）
（2）解：连接GA，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB=90°．
∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD是矩形．
∴BG=AD，GA=BD．
∵BD=BC，
∴GA=BC．
由（1）得△ADE≌△FCE，
∴AD=FC．
∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．
∵由（1）得EF=EA，
∴EG⊥AF．（5分）
11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形
ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
（1）求证：EB=EF；
（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．
（1）证明：∵△ADF为等边三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）
∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）
∵AE为公共边
∴△FAE≌△BAE（4分）
∴EF=EB（5分）
（2）解：如图，连接EC．（6分）
∵在等边三角形△ADF中，
∴FD=FA，
∵∠EAD=∠EDA=15°，
∴ED=EA，
∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）
由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．
∵∠FAE=∠BAE=75°，
∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，
∴BE=BA=6．
∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，
∴∠GEB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠GBE=30°
∴GE=GB．（8分）
∵点G是BC的中点，
∴EG=CG
∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，
∴△CEG为等边三角形，
∴∠CEG=60°，
∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）
∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2
∴CE=
，
∴BC=
（10分）；
解法二：过C作CQ⊥AB于Q，
∵CQ=AB=AD=6，
∵∠ABC=60°，
∴BC=6÷
=4
．
12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG
是梯形ABCD的高．
（1）求证：AE=GF；
（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．
（1）证明：∵AB=DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠BDC=90°．（1分）
由已知AE⊥BD，
∴AE∥DC．（2分）
又∵AE为等腰三角形ABD的高，
∴E是BD的中点，
∵F是DC的中点，
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）
∴AE=DF（4分）
∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，
∴GF=DF，（5分）
∴AE=GF．（6分）
（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，
∵AE=1，
∴AD=2．
在Rt△DGC中∠C=60°，
并且DC=AD=2，
∴DG=
．（8分）
由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，
又∵DG⊥BC，
∴DG⊥EF，
∴四边形DEGF的面积=
EF?DG=
．（10分）
13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．
（1）求证：FC=BE；
（2）若AD=DC=2，求AG的长．
解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，
∴∠ABC=∠AFE．
∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，
∴△ABC≌△AFE，
∴AB=AF．
∴AE﹣AB=AC﹣AF，
即FC=BE；
（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，
∴AF=
AC=
AE．
∴AG=CG，
∴∠E=30°．
∵∠EAD=90°，
∴∠ADE=60°，
∴∠FAD=∠E=30°，
∴FC=
，
∵AD∥BC，
∴∠ACG=∠FAD=30°，
∴CG=2，
∴AG=2．
14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．
（1）求证：AD=BE；
（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∵DE⊥EC，
∴∠AED+∠BEC=90°
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEC=∠ADE，
∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，
∴△EAD≌△EBC，
∴AD=BE．
（2）答：△ABF是等腰直角三角形．
理由是：延长AF交BC的延长线于M，
∵AD∥BM，
∴∠DAF=∠M，
∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，
∴△ADF≌△MFC，
∴AD=CM，
∵AD=BE，
∴BE=CM，
∵AE=BC，
∴AB=BM，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∵△ADF≌△MFC，
∴AF=FM，
∴∠ABC=90°，
∴BF⊥AM，BF=
AM=AF，
∴△AFB是等腰直角三角形．
15、（2011?潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．
（1）求证：AD=AE；
（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．
解答：（1）证明：连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠ACD=∠ACB，
∵AD⊥DC，AE⊥BC，
∴∠D=∠AEC=90°，
∵AC=AC，
∴
，
∴△ADC≌△AEC，（AAS）
∴AD=AE；
（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，
设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，
在Rt△ABE中∠AEB=90°，
由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，
解得：x=10，
∴AB=10．
说明：依据此评分
标准
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，其它
方法
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如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．
16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．
（1）求证：AE⊥BD； （2）若AD=4，BC=14，求EF的长．
（1）证明：∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，
已知E是BD的中点，
∴AE⊥BD．
（2）解：延长AE交BC于G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠GBE，
又∵AE⊥BD（已证），
∴∠AEB=∠GEB，
BE=BE，
∴△ABE≌△GBE，
∴AE=GE，BG=AB=AD，
又F是AC的中点（已知），
所以由三角形中位线定理得：
EF=
CG=
（BC﹣BG）=
（BC﹣AD）
=
×（14﹣4）=5．
答：EF的长为5．
17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AD=3，DC=4，求AE．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，
∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，
∴△BCE≌△CAD．
∴CD=BE．
（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC=
=5，
∵△BCE≌△CAD，
∴CE=AD=3．
∴AE=AC﹣CE=2．
18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．
解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）
∵AB⊥AC，
∴∠AED=∠BAC=90度．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC?sin45°=4×
=2
（2分）
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=
．∴CE=AC﹣AE=
．（4分）
在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC=
=
．（5分）
19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且
．
（1）求证：BF=EF﹣ED；
（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．
证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，
∴△FCE≌△F′CE，
∴EF′=EF=DF′+ED，
∴BF=EF﹣ED；
（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，
∴∠ACB=50°，
由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，
∴∠ECB=70°，
而∠B=∠BCD=80°，
∴∠DCE=10°，
∴∠BCF=30°，
∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．
20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．
（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长．
（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．
解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，
∴AM=BM=
×6=3；
∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，
∴四边形AMEF是矩形，
∴EF=AM=3；
在Rt△AFE中，AE=
=5；
（2）延长AF、BC交于点N．
∵AD∥EN，
∴∠DAF=∠N；
∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，
∴△ADF≌△NCF（AAS），
∴AD=CN；
∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，
又AE=BE，∠B=∠BAE，
∴∠N=∠EAN，AE=EN，
∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，
∴CE=BE﹣AD．
．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．
（1）求证：DH=
（AD+BC）；
（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．
解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）
∵AD∥BC，
∴四边形ACED为平行四边形．（2分）
∴CE=AD，DE=AC．
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴BD=AC=DE．
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD．
∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）
∵DH⊥BC，
∴DH=
BE=
（CE+BC）=
（AD+BC）．（5分）
（2）∵AD=CE，
∴
．（7分）
∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，
∴
．
∴梯形ABCD的面积为18．（8分）
注：此题解题方法并不唯一．
22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线
上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．
（1）求证：△AGE≌△DAB；
（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，
∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，
∴△AGD是等边三角形，
AG=GD=AD，∠AGD=60°．
∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，
∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，
∴△AGE≌△DAB；
（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．
∵EF∥DB，DG∥BC，
∴四边形BFED是平行四边形．
∴EF=BD，
∴EF=AE．
∵∠DBC=∠DEF，
∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．
∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．
23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．
（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；
（2）若AD=1，BC=3，DC=
，试判断△DCF的形状；
（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：∵EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵EF∥AB，
∴∠B=∠EFC，
∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；
（2）△DCF是等腰直角三角形，
证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=
CD，
∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴CF=
（BC﹣AD）=1，
∵DC=
，
∴由勾股定理得：DF=1，
∴△DCF是等腰直角三角形；
（3）共四种情况：
∵DF⊥BC，
∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，
即PF=1，
∴PB=1；
当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，
∴PB=2；
当PC=CD=
（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，
∴PB=3﹣
；
当PC=CD=
（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，
∴PB=3+
．
故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣
，PB=3+
．（每个1分）
24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的
延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）求∠BPF的度数．
解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，
∴AB=CD，
∵AD=DC，
∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS）．
（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，
∴∠ABE=∠DAF．
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．
而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，
∴∠BPF=120°．
25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．
（1）求∠ABC的度数；
（2）如果BC=8，求△DBF的面积？
解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴∠DBC=∠ABD，
∵在梯形ABCD中AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，
∵BD⊥DC，
∴∠DBC+2∠DBC=90°
∴∠DBC=30°
∴∠ABC=60°
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，
∵∠DBC=30°，BC=8，
∴DC=4，
∵CF=CD∴CF=4，
∴BF=12，
∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC
∴∠F=30°，
∵∠DBC=30°，
∴∠F=∠DBC，
∴DB=DF，
∴
，
在直角三角形DBH中
，
∴
，
∴
，
∴
，
即△DBF的面积为
．
26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．
（1）求证：△AGD为正三角形；
（2）求EF的长度．
（1）证明：连接BE，
∵梯形ABCD中，AB=DC，
∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，
∴∠GCB=∠GBC，
又∵∠BGC=∠AGD=60°
∴△AGD为等边三角形，
（2）解：∵BE为△BCG的中线，
∴BE⊥AC，
在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，
∴EF=
AB=5cm．
27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．
（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．
（2）求证：ED=BE+FC．
解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，
∴∠ECB=15°，
∵∠ECD=45°，
∴∠DCF=60°，
在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，
∴DF=3
，DC=6，
由题得，四边形ABFD是矩形，
∴AB=DF=3
，
∵AB=BC，
∴BC=3
，
∴BF=BC﹣FC=3
﹣3，
∴AD=DF=3
﹣3，
∴C梯形ABCD=3
×2+6+3
﹣3=9
+3，
答：梯形ABCD的周长是9
+3．
（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，
∴CN=CE，
可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，
∴△DEC≌△DNC，
∴ED=EN，
∴ED=BE+FC．
28、（2005?镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△AFE；
（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．
（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，
∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．
∴△BCE≌△AFE（AAS）．
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=90°．
∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，
∴△BCE≌△AFE．
∴AF=BC=4．
∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，
∴EF=5．
29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
求证：
（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE；
（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．
（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，
∴△DCF≌△BCF．
（2）延长DF交BC于G，
∵AD∥BG，AB∥DG，
∴四边形ABGD为平行四边形．
∴AD=BG．
∵△DFC≌△BFC，
∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．
又∵∠3=∠4，
∴△DFE≌△BFG．
∴DE=BG，EF=GF．
∴AD=DE．
（3）∵EF=GF，DF=BF，
∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．
∵DG=AB，
∴BE=AB．
∵C△DFE=DF+FE+DE=6，
∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．
∴AB+AD=6．
又∵AD=2，
∴AB=4．
∴DG=AB=4．
∵BG=AD=2，
∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．
又∵DC=BC=5，
在△DGC中∵42+32=52
∴DG2+GC2=DC2
∴∠DGC=90°．
∴S梯形ABCD=
（AD+BC）?DG
=
（2+5）×4
=14．
30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．
解答：解：（1）证明：∵AD∥BC， DE2=CD2+CE2=42+32=25，
∴∠OAD=∠OEB， ∴DE=5
又∵AB=AD，AO⊥BD， ∴AD=BE=5，
∴OB=OD， ∴S梯形ABCD=
．
又∵∠AOD=∠EOB，
∴△ADO≌△EBO（AAS），
∴AD=EB，
又∵AD∥BE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DE=BE，
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