高三一轮总复习
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抓基础·自主学习
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第三章 不等式
第15课 基本不等式及其应用
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[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
基本不等式及其应用
√
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a>0，b>0
a＝b
2ab
2
1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：__________.
(2)等号成立的条件：当且仅当_____.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥____ (a，b∈R)；
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥___ (a，b同号且不为零)；
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两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；
(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为______，几何平均数为_____，基本不等式可叙述为：___________________________________________．
eq \f(a＋b,2)
eq \r(ab)
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4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是______(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是___(简记：和定积最大)．
2eq \r(p)
eq \f(q2,4)
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.( )
(2)函数f(x)＝cos x＋eq \f(4,cos x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值等于4.( )
(3)x>0，y>0是eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值为2eq \r(a).( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
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2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________．(填序号)
①a2＋b2>2ab；
②a＋b≥2eq \r(ab)；
③eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(2,\r(ab))；
④eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2.
④ [∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴①错误；对于②，③，当a<0，b<0时，明显错误．
对于④，∵ab>0，∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.]
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3．若a，b都是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))的最小值为________．
9 [∵a，b都是正数，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥5＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．]
4．若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于________．
3 [当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(x－2×\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.]
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5．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.
25 [设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，
则另一边为eq \f(1,2)×(20－2x)＝(10－x)m，
则y＝x(10－x)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋10－x,2)))2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]
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利用基本不等式求最值
eq \a\vs4\al(☞)角度1 配凑法求最值
(1)已知x
y>0，且log2x＋log2y＝1，则eq \f(x2＋y2,x－y)的最小值为________．
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(1)1 (2)4 [(1)因为x0，
则f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立．
故f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值为1.
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(2)由log2x＋log2y＝1得xy＝2.
∴eq \f(x2＋y2,x－y)＝eq \f(x－y2＋2xy,x－y)＝(x－y)＋eq \f(4,x－y).
又x>y，∴x－y>0.
∴(x－y)＋eq \f(4,x－y)≥2eq \r(x－y·\f(4,x－y))＝4，
当且仅当x－y＝eq \f(4,x－y)，即x－y＝2时等号成立．
故eq \f(x2＋y2,x－y)的最小值为4.]
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eq \a\vs4\al(☞)角度2 常数代换或消元法求最值
(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．
(2)设a＋b＝2，b>0，则eq \f(1,2|a|)＋eq \f(|a|,b)取最小值时，a的值为________．
(1)5 (2)－2 [(1)法一：由x＋3y＝5xy可得eq \f(1,5y)＋eq \f(3,5x)＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))
＝eq \f(9,5)＋eq \f(4,5)＋eq \f(3x,5y)＋eq \f(12y,5x)≥eq \f(13,5)＋eq \f(12,5)＝5.
(当且仅当eq \f(3x,5y)＝eq \f(12y,5x)，即x＝1，y＝eq \f(1,2)时，等号成立)，
∴3x＋4y的最小值是5.
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法二：由x＋3y＝5xy，得x＝eq \f(3y,5y－1)，
∵x>0，y>0，∴y>eq \f(1,5).
∴3x＋4y＝eq \f(9y,5y－1)＋4y
＝eq \f(13\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,5)))＋\f(9,5)＋\f(4,5)－4y,5y－1)＋4y
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＝eq \f(13,5)＋eq \f(9,5)·eq \f(\f(1,5),y－\f(1,5))＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,5)))≥eq \f(13,5)＋2eq \r(\f(36,25))＝5，
当且仅当y＝eq \f(1,2)时等号成立，
∴(3x＋4y)min＝5.
(2)∵a＋b＝2，
∴eq \f(1,2|a|)＋eq \f(|a|,b)＝eq \f(2,4|a|)＋eq \f(|a|,b)
＝eq \f(a＋b,4|a|)＋eq \f(|a|,b)
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＝eq \f(a,4|a|)＋eq \f(b,4|a|)＋eq \f(|a|,b)
≥eq \f(a,4|a|)＋2eq \r(\f(b,4|a|)×\f(|a|,b))＝eq \f(a,4|a|)＋1，
当且仅当eq \f(b,4|a|)＝eq \f(|a|,b)时等号成立．
又a＋b＝2，b>0，
∴当b＝－2a，a＝－2时，eq \f(1,2|a|)＋eq \f(|a|,b)取得最小值．]
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eq \a\vs4\al(☞)角度3 不等式的综合应用
(1)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq \f(xy,z)取得最大值时，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值为________．
(2)设f(x)＝ln x,0p;
④p＝r>q.
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(1)1 (2)② [eq \f(xy,z)＝eq \f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq \f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq \f(1,2\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3)＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)＝eq \f(2,y)－eq \f(1,y2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))2＋1≤1.
(2)因为b>a>0，故eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab).又f(x)＝ln x(x>0)为增函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))>f(eq \r(ab))，即q>p.又r＝eq \f(1,2)(f(a)＋f(b))＝eq \f(1,2)(ln a＋ln b)＝ln eq \r(ab)＝p，∴p＝r0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9. 【导学号：62172085】
[证明] (1)eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b))).
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,a)＋eq \f(a＋b,b)＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2＝4，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8(当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立)．
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(2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋eq \f(1,a)＝1＋eq \f(a＋b,a)＝2＋eq \f(b,a)，同理1＋eq \f(1,b)＝2＋eq \f(a,b)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b,a)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a,b)))
＝5＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4＝9，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9(当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立)．
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法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))＝1＋eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)，
由(1)知，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8，
故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))＝1＋eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥9.
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[规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．
2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
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[变式训练1] 设a，b均为正实数，求证：eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＋ab≥2eq \r(2).
[证明] 由于a，b均为正实数，
所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)≥2eq \r(\f(1,a2)·\f(1,b2))＝eq \f(2,ab)，
当且仅当eq \f(1,a2)＝eq \f(1,b2)，即a＝b时等号成立，
又因为eq \f(2,ab)＋ab≥2eq \r(\f(2,ab)·ab)＝2eq \r(2)，
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当且仅当eq \f(2,ab)＝ab时等号成立，
所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＋ab≥eq \f(2,ab)＋ab≥2eq \r(2)，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,b2)，,\f(2,ab)＝ab，))即a＝b＝eq \r(4,2)时取等号.
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基本不等式的实际应用
运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的
表
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达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
[解] (1)设所用时间为t＝eq \f(130,x)(h)，
y＝eq \f(130,x)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))＋14×eq \f(130,x)，x∈[50,100]．
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所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝eq \f(130×18,x)＋eq \f(2×130,360)x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(50，100)).
(或y＝eq \f(2 340,x)＋eq \f(13,18)x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(50，100)))．
(2)y＝eq \f(130×18,x)＋eq \f(2×130,360)x≥26 eq \r(10)，
当且仅当eq \f(130×18,x)＝eq \f(2×130,360)x，
即x＝18eq \r(10)，等号成立．
故当x＝18eq \r(10)千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26eq \r(10)元．
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[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
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[变式训练2] 某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．
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[解] (1)由题意得，
y＝eq \f(100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x,x)，
即y＝x＋eq \f(100,x)＋1.5(x∈N＋)．
(2)由基本不等式得：
y＝x＋eq \f(100,x)＋1.5≥2eq \r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，
当且仅当x＝eq \f(100,x)，即x＝10时取等号．
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．
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[思想与方法]
1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
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2．基本不等式的两个变形：
(1)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
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[易错与防范]
1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．
3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
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