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利用零点分段法解含多绝对值不等式.doc

利用零点分段法解含多绝对值不等式

elma莹莹
2019-02-25 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《利用零点分段法解含多绝对值不等式doc》,可适用于医药卫生领域

利用零点分段法解含多绝对值不等式对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题不少同学感到无从下手下面介绍一种通法零点分段讨论法.一、步骤通常分三步:⑴找到使多个绝对值等于零的点.⑵分区间讨论去掉绝对值而解不等式.一般地n个零点把数轴分为n+段进行讨论.⑶将分段求得解集再求它们的并集.二、例题选讲例求不等式|x+|+|x-|>的解集.分析:据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间再分别讨论而去掉绝对值.从而转化为不含绝对值的不等式.解:∵|x+|=|x-|=.故可把全体实数x分为三个部分:①x<-②-≤x<③x≥.所以原不等式等价于下面三个不等式组:(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ).不等式组(Ⅰ)的解集是{x|x<-}不等式组(Ⅱ)的解集是不等式组(Ⅲ)的解集是{x|x>}.综上可知原不等式的解集是{x|x<-或x>}.例解不等式|x-|+|-x|>-x.解:由于实数将数轴分成(-∞((+∞)三部分故分三个区间来讨论.⑴当x≤时原不等式可化为-(x-)-(x-)>x+即x<.故不等式的解集是{x|x<}.⑵当<x≤时原不等式可化为(x-)-(x-)>x+即x<-.故不等式的解集是.⑶当x>时原不等式可化为(x-)+(x-)>x+即x>.故不等式的解集是{x|x>}.综上可知原不等式的解集是{x|x<或x>}.例已知关于x的不等式|x-|+|x-|<a的解集是非空集合求a的取值范围.解:∵x=时|x-|=x=时|x-|=.⑴当x≤时原不等式可化为-x+-x+<a即a>-x由x≤所以-x≥-故a>.⑵当<x≤时原不等式可化为-x++x-<a即a>.⑶当x>时原不等式可化为x-+x-<a即a>x->-=故a>.综上知a>.无理不等式与绝对值不等式●考试目标 主词填空含有绝对值的不等式①|f(x)|<a(a>),去掉绝对值后保留其等价性的不等式是-a<f(x)<a②|f(x)|>a(a>),去掉绝对值后保留其等价性的不等式是f(x)>a或f(x)<-a③|f(x)|>|g(x)|f(x)>g(x)无理不等式对于无理不等式的求解通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解其基本类型有两类:①②含有多个绝对值符号的不等式通常是“分段讨论”去掉绝对值符号某些无理不等式和绝对值不等式可用“换元法”或图像法求解三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a||b|,此不等式可推广如下:|aaa…an|≤|a||a||a|…|an|当且仅当a,a,a,…an符号相同时取等号●题型示例 点津归纳【例】 解无理不等式()>()>x-()<x【解前点津】 ()因>,故原不等式可化为不等式组:()因右边x符号不定故须分两种情况讨论,()与()类似也须讨论【规范解答】 ()化原不等式为:()化原不等式为:()化原不等式为两个不等式组:【解后归纳】 将无理不等式转化为有理不等式组基本思路是分类讨论要注意解集的交、并运算对于那些复杂的无理不等式一般情况下读者不要去研究它避免消耗太多精力【例】 解下列含有绝对值的不等式:()|x-|≤x()|x|>|x-|()|x-||x|<【解前点津】 ()可直接去掉绝对值符号转化为-(x)≤x-≤(x)()两边平方去掉绝对值符号()当x=,-时,有x-=及x=,故可分段讨论去掉绝对值符号【规范解答】()原不等式可化为:-(x)≤x-≤x故原不等式的解集为[,]∪{-}()化原不等式为|x|>|x-|(x-)-(x)<(x-x)·(x--x-)<x·(x-)<<x<()令x-=得x=,令x=得x=-当x∈时,原不等式可化为:-(x-)-(x)<当x∈时,原不等式可化为:-(x-)(x)<由<x≤当x∈(,∞)时,原不等式可化为:(x-)(x)<,故由综上所述知:为原不等式解集【解后归纳】 解含有两个或两个以上绝对值的不等式一般方法是分段讨论得出原不等式解集的子集最后取并集如何分段分几段这只须算出“分点”即可即“绝对值”为时的变量取值n个不同的分点将数轴分割成了(n)段【例】 若不等式的解集是(,m),求a,m的值【解前点津】 在同一坐标系中作出两个函数y=(x≥)及y=ax(x≥)的图像若y=的图像位于y=ax图像的上方则与之对应的x的取值范围就是不等式的解【规范解答】 设y=,它的图像是半条抛物线y=ax(x≥),它的图像是经过点(,),斜率为a的一条射线不等式的解即当y=的图像在y=ax(x≥)的图像上方时相应的x的取值范围因为不等式解集为(,m),故方程有一个解为,将x=代入得:再求方程的另一个解得:x=,即m=【解后归纳】 用图像法解不等式须在同一坐标系中作出两个函数的图像且图像必须在“公共定义域内”要确定那一部分的图像对应于不等式的解集【例】 解不等式|logx||log(-x)|≥【解前点津】 从x的可取值范围入手易知<x<,当x分别在及(,)上取值时可同时去掉两个绝对值符号【规范解答】 ∵x>且-x>故<x<时不等式才有意义当x∈时,因logx≤,log(-x)≥,故此时原不等式为:-logxlog(-x)≥log≥log当x∈(,)时,因为logx>,log(-x)<,故此时原不等式为:logx-log(-x)≥log≥log故原不等式的解集为【解后归纳】 本题利用对数函数的性质去掉了绝对值符号从而转化为分式不等式组无理不等式的解法一、引入:、无理不等式的类型:①、②、③、二、典型例题:例、解不等式例、解不等式例、解不等式例、解不等式例、解不等式例、解不等式三、小结:四、反馈练习:解下列不等式.    .       .        .         .     第课 无理不等式与绝对值不等式习题解答C 对a=进行检验考虑不等式的几何意义C 利用x>,化简另一个不等式D 由<<<x-<<x<B 由-x≥且x>且-x<(x)<x≤B 分别画出:y=,与y=xa的图像看图作答B |x-a|<ε,|y-a|<ε|x-y|=|(x-a)-(y-a)|≤|x-a||y-a|<εε=ε,当|x-y|<ε时,不能推出|x-a|<ε且|y-a|<εA 若<a<b<c,且lga<lgb<lgc,又因为|lga|>|lgc|>|lgb|>,ac--(ac)=ac-a-c=(c-)·(a-)<,∴ac<acB 因x>,当logx<时,不等式成立,此时<x<当logx≥时,|xlogx|=x|logx|B ,当<x≤时,不等式成立,另由由(|x|-)·(|x|-)<<|x|<x∈(-,-)∪(,)由x≥知,x--≤,(-)·()≤≤≤≤x≤考察y=,y=xa的图像,即直线y=xa在半圆xy=(y≥)上方a∈(,∞)()化原不等式为:<x≤或x>x>()化原不等式为:原不等式等价于:或,解之:x<-或<x≤或x>,故原不等式解集为:(-∞,-)∪(,∞)由a(a-x)≥x≤a()当x>时,a-x<,不等式成立,故<x≤a()当x≤时,a-x≥,平方得a(a-x)>(a-x),<x<,故<x≤综上所述得:化原不等式为:|logax|-|logax|<,令t=logax,则|t|-|t|<,解之得:-<t<即-<logax<,当a>时,解集为(),当<a<时,解集为

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