§14－5 简谐运动的能量
Energy of Simple Harmonic Vibration
引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而具有势能，动能和势能之和就是其能量。
一、简谐运动的能量
1．能量表达式
（1）推导
以弹性振子为例。假设在t时刻质点的位移为x，速度为v，则
则系统动能为：
系统势能为：
因而系统的总能量为
考虑到
，则
（2）结论
弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。
（3）解释
由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变。
（4）说明
1）E∝A2，对任何简谐运动皆成立；
2）动能与势能都随时间作周期性变化，变化频率是位移与速度变化频率的两倍，而总能量保持不变；且总能量与位移无关。
动能Ek=E-Ep
2．能量曲线
注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。
二、能量平均值
定义：一个随时间变化的物理量f(t)，在时间T内的平均值定义为
因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为
因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为
结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。
三、应用
1．应用1——记忆振幅公式
由能量守恒关系可得：k A2/2= mv02/2+ kx02/2
解之即得：
2．应用2——推导简谐运动相关方程
在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重力势能），且二者之和保持不变，因而有
将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，经过简化后，即可得到简谐运动的微分方程及振动周期和频率。这种
方法
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在工程实际中有着广泛的应用。
此方法对于研究非机械振动非常方便。
例1．用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。
解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即
两边对时间求导，得
即
令
，则
其解为
代入守恒方程可得
A=A’
例2．劲度系数为k、原长为l、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。
解：取物体受力平衡位置O为坐标原点，向右为x轴正方向，如图所示，设m
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