考研数3之差分方程
(7)一阶差分 对任何数列
,称数列
为原数列的一阶差分.
(8)
阶差分
阶差分
的差分
称为数列
的
阶差分,记为
.二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.
(9)差分方程 含有自变量
,未知函数
或求知函数
的差分的方程称为差分方程.
(10)差分方程的阶 差分方程中所含未知函数差分的实际最高阶数或方程中未知函数的最大下标与最小下标的差数称为此差分方程的阶.
(11)差分方程的解 满足差分方程的函数,称为差分方程的解.
(12)差分方程的通解 若解中所含相互独立的任意常数个数与差分方程的阶数相同,
则这个解称为此差分方程的通解.
(13)差分方程的特解 确定了任意常数的解,称为此差分方程的特解.
(14)差分方程的初始条件 用来确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件.
例13 求
的一阶差分.
解
=
=
=
=
例14 设有一笔投资(本金)
,若利率每年按 r 的复利计算,
年后的本利和为多少?
解 设
年后的本利和为
,根据题意有
且满足条件:
易得
年后的本利和为:
注:如果每年投资
,那么
年后的本利和为
此时也满足条件:
解得:
例15 求差分方程
的解.
解 方程可改写为
可得特征方程为
3 λ?-?2=0
特征根为
,于是方程的通解为
把初始条件
代入通解,得C = 5. 于是方程的解为
例16 求差分方程
的通解
解 差分方程对应的齐次方程的通解为
(
为任意常数)
由于方程中 b = 1 ( 即1是特征根 ),
为二次多项式,故
中 s=1.设特解为
代入非齐次方程得
所以,非齐次差分方程的通解为
,
为任意常数.
例17 求
在初始条件
下的解.
解 方程可改写为
其对应的齐次方程通解为
(
为任意常数)
显然5不是特征根,故可设特解为
.
代入非齐次方程得
.
所以,非齐次差分方程的通解为
,
为任意常数.
把初始条件
代入通解,得
,所以原差分方程满足初始条件的解为
五、部分习题选解
1、(习题6-2,3(6))求方程
的通解.
解 原方程可化为
故这是以
为自变量的一阶线性非齐次方程.其通解为
即
2、(习题6-3,1(3))求方程
的通解.
解 此题虽然不是书中所提三种类型之一,但显然可通过令
来降阶,此时原方程变为
,其通解为
即
两端积分得
再对上式两端积分即得原方程的通解为
3、(习题6-4, 1(9))求方程
的通解.
解 原方程可化为
,其特征方程
的两个根为
.故对应的齐次方程的通解为
下面求
的一个特解,可设为
,代入方程
中可得
,从而
.
再求
的一个特解,可设为
,代入方程得
,从而
.
因此原方程的一个特解为
.
从而原方程的通解为
.
4、(复习题六,5)借助变量代换
,(
),求微分方程
满足初始条件
,
的特解.
解 令
,则
,
,
代入原方程得
,即
.对其两端连续积分两次得
.
从而
.
所以
.
又
,代入上式得
.
而
,故由
得
.
因此所求特解为
.
5、(复习题六,7)设
可微,且满足
试求
.
解 原方程可改写为
两边求导得
两边再求一次导得
,且由上式还可知
.
易知
的通解为
,再由
知所求函数为
.
6、(复习题六,11)设有微分方程
,其中
试求在(
)内的连续函数
,使之在(
)和(
)内都满足所给方程,且满足条件
.
解
时,方程为
.其通解为
由
知
,故其特解为
.
时,方程为
.其通解为
.要使所求函数在
上连续,必须满足
从而
.
再补充定义
,即得所求函数为
7、(复习题六,13)设方程
有两个特解
且
,求
,并求出方程的通解.
解 由
知
又由
是方程的特解知
从而
所以
.进一步地,我们有
由此可得
.而方程
的通解为
.即
.因此
.
又
,所以
.即
,解得
.取其中一个特解为
.再由
知
.
综上所述,我们可取
,
;
,
;而方程的通解为
,(
为任意常数).
8、(复习题六,15)已知差分方程,其中均为正数,试证:通过变换,可将非齐次方程变换为的齐次方程,并由此求出的通解.
解 把
代入原方程得
(*)
易知对应齐次方程的通解为
,
为任意常数.
当
时,可令(*)的一个特解为
,代入(*)得
.从而(*)的通解为
.
当
时,可令(*)的一个特解为
,代入(*)得
.从而(*)的通解为
.
因此原方程的通解为
为任意常数.
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