第六章定积分的应用

第六章定积分的应用第六章定积分的应用一、基本要求（1）掌握定积分的元素法。（2）会求平面图形的面积。（3）会求旋转体的面积。（4）会求截面面积已知的立体体积。（5）会求平面曲线的弧长。（6）会用元素法求变力沿直线做功，以及压力、引力和平均值。二、教学重点（1）定积分的微元法，平面图形的面积，空间立体体积，变力做功，引力及压力。三、教学难点（1）变力沿直线做功，以及压力、引力。四、释疑解难问题6.1 微元法的实质是什么？答微元法的实质是“以不变代变”或“以直代曲”，近似求出整体...

第六章定积分的应用一、基本要求（1）掌握定积分的元素法。（2）会求平面图形的面积。（3）会求旋转体的面积。（4）会求截面面积已知的立体体积。（5）会求平面曲线的弧长。（6）会用元素法求变力沿直线做功，以及压力、引力和平均值。二、教学重点（1）定积分的微元法，平面图形的面积，空间立体体积，变力做功，引力及压力。三、教学难点（1）变力沿直线做功，以及压力、引力。四、释疑解难问题6.1 微元法的实质是什么？答微元法的实质是“以不变代变”或“以直代曲”，近似求出整体量在局部内的各部分，然后相加再取极限，从而求得整体量。这就是用定积分解决实际问题思想 “分割—近似代替—作和—求极限”。问题 6.2 用定积分解决实际问题应具备的条件是什么？答用定积分解决实际问题时，对所求的量S，要具有以下几个特点：（1）S是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量。（2）S对于区间[a,b]具有可加性，就是说，如果把区间[a,b]分成许多部分区间，则S相应地分成许多部分量，而S等于所有部分量之和。（3）对于每个分量可以找到近似表达式，就可以考虑用定积分来表达这个量。问题 6.3 微元法的一般步骤是什么？答微元法的一般步骤如下：（1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]。（2）设把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任一小区间并记为[x,x+dx]，求出相应于小区间的部分量的近似值。如果能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值与dx的乘积，就把称为量U的元素，且记作dU,即dU=f(x)dx.。（3）以所求量U的元素f(x)dx为被积分表达式，在区间[a,b]上作定积分，得：，即为所求量U的积分表达式，这个方法通常叫做元素法。问题 6.4 曲线与x轴所围图形面积为，对吗？答错。它表示曲线与x轴所围成面积的代数和，而曲线与x轴所围成图形的面积为问题 6.5 函数，在区间上连续，且，则由曲线，及直线所围成图形绕x轴旋转的体积是还是？答是，它是大旋转体的体积减去小旋转体的体积之差。问题 6.6 函数在对称区间求面积时应注意什么？答当是奇函数时，定积分，但与所围成的面积为。当是偶函数时，定积分，与所围成的面积为。问题 6.7 设曲边梯形由围成，计算该曲边梯形的面积一般在直角坐标系中进行，请问该面积是否可利用极坐标系进行？由于曲线的极坐标方程为，于是有人利用算式求出该面积为请回答是否正确？答曲边梯形的面积可以利用极坐标系计算，但是上列算式是错误的。事实上这里所算的面积是由曲线，及所围成的曲边梯形的面积。在直角坐标系中，该图形由曲线围成为。问题 6.8 在处理定积分物理应用问题时应注意什么？答处理定积分物理应用的前提是应具备几类物理问题的基本知识。比如，质心问题是与静力矩概念相关的结论，做功问题应抓住力学基本原理，尤其是牛顿力学第三定律；压力问题是与巴斯定律相联系的概念，而动能或动量的问题的处理，需依据能量公式与能量守恒原理。对所有这些问题的分析，基本点还是累加性，最终要列出微元关系。问题 6.9 旋转体的体积与侧面积的计算中应注意什么问题？答（1）计算旋转体的体积，应注意在两种方法（圆台法、柱壳法）中选择适当方法简化计算，并且要注意对旋转轴的具体要求，有时旋转轴不一定是坐标轴。五、典型例子例6.1 试求由抛物线和抛物线相切于纵坐标处的切线以及轴所围成图形的面积。解：抛物线在处的切线为，如图所示例6.2 试求由双纽线所围成且在内部的图形的面积。解：由对称性可知，总面积应等于第一象限部分面积的4倍，如图在极坐标下双纽线的方程为圆的方程为交点处的，例6.3 试求由抛物线与过焦点的弦围成图形面积的最小值。解：取抛物线的焦点为极点，在极坐标下抛物线的方程为设过焦点的弦与轴正向的夹角为，如图所示。令，得显然A在时有极小值，事实上也是最小值。当时，例6.4 求圆域绕轴旋转而成的圆环体的体积。解1：如图上半圆周为，下半圆周为。解2：如图所示例6.5 求心形线和直线围成图形绕极轴旋转所成旋转体的体积。解：由得例6.7 求双纽线所围面积与绕极轴旋转的侧面积。解: 由对称性知，所求双纽线所围面积A应等于在第一象限部分面积的4倍。侧面积为由第一象限的弧段旋转所得侧面积的2倍。例6.8 设星形线的方程为试求:1)他所围的面积。 2）它的弧长。 3）它绕x轴旋转而成的旋转体的体积和表面积。解：如图所示，例6.9 设有半径为R的圆盘，密度分别为： 1） 2）求圆盘的质量。解：如图所示， 1） , 2） , 例6.10 半径为的球沉入水中，其最高点与水面相接，球的密度为1，现将球从水中取出，问要做多少功？解1：如图建立坐标系，图中圆的方程为。将球从水中取出恰离水面时，球中相当于的小薄片总的行程，其中在水中移动的行程为，由于球的密度为1，重力与浮力的合力为零，故做功为零，其余行程为，克服重力做功，解2：事实上所求功等于把球的质量集中到球心，设为球露出水面的高度，例6.11 一根半径为R的圆环金属丝，为常数，以等角速度绕其某一条直径旋转，求金属丝的动能。解1：如图建立坐标系，由对称性易知整个圆环形金属丝的动能应等于第一象限部分动能的4倍。解2：如图建立坐标系，例6.12 一根长为 ,质量为的均匀直棒，在它的一端垂线上跟棒处有质量为的质点，求棒对质点的引力。解：如图建立坐标系，设引力为，水平分力为，铅直分力为

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