高考数学递推数列题型归纳解析

高考数学递推数列题型归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出几种求解数列通项公式的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，希望能对大家有帮助。 类型1  解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列 满足 ， ，求 。 解：由条件知： 分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即 所以 ， 变式:（2004，全国I，个理22．本小题满分14分） 已知数列 ，且a2k=a2k－1+(－1)k,  a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5； （II）求{ an}的通项公式. 解： ， ，即 ， ……    …… 将以上k个式子相加，得 将 代入，得 ， 。 经检验 也适合， 类型2    解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列 满足 ， ，求 。 解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即 又 ， 例:已知 ， ，求 。 解： 。 变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项   解：由已知，得 ，用此式减去已知式，得 当 时， ，即 ，又 ， ，将以上n个式子相乘，得 类型3  （其中p，q均为常数， ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列 中， ， ，求 . 解：设递推公式 可以转化为 即 .故递推公式为 ,令 ，则 ,且 .所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，则 ,所以 . 变式:（2006，重庆,文,14） 在数列 中，若 ，则该数列的通项 _______________ （key: ） 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列 满足 （I）求数列 的通项公式；（II）若数列{bn}滿足 证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明： （I）解：         是以 为首项，2为公比的等比数列     即　 （II）证法一：     ①    　 　② ②－①，得 即     ③－④，得　 即　 是等差数列  证法二：同证法一，得　     令 得 设 下面用数学归纳法证明　 （1）当 时，等式成立  （2）假设当 时， 那么 这就是说，当 时，等式也成立  根据（1）和（2），可知 对任何 都成立  是等差数列  （III）证明：     变式:递推式： 。解法：只需构造数列 ，消去 带来的差异． 类型4  （其中p，q均为常数， ）。    （或 ,其中p，q,  r均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ），得： 再待定系数法解决。 例:已知数列 中， , ，求 。 解：在 两边乘以 得： 令 ，则 ,解之得： 所以 变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分） 设数列 的前 项的和 ， （Ⅰ）求首项 与通项 ；（Ⅱ）设 ， ，证明： 解：（I）当 时， ； 当 时， ，即 ，利用 （其中p，q均为常数， ）。    （或 ,其中p，q,  r均为常数）的方法，解之得： (Ⅱ)将 代入①得 Sn= ×(4n－2n)－ ×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) = ×(2n+1－1)(2n－1) Tn= = × = ×( － ) 所以, = － )  = ×( － ) < 类型5 递推公式为 （其中p，q均为常数）。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 其中s，t满足 解法二(特征根法)：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，叫做数列 的特征方程。若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）；当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列 ： ， ，求数列 的通项公式。由 ，得 ，且 。 则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，于是 。 把 代入，得 ， ， ， 。把以上各式相加，得 。 。 解法二（特征根法）：数列 ： ， 的特征方程是： 。 , 。又由 ，于是 故 例:已知数列 中， , , ，求 。 解：由 可转化为 即 或 这里不妨选用 （当然也可选用 ，大家可以试一试），则 是以首项为 ，公比为 的等比数列,所以 ,应用类型1的方法，分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即 又 ，所以 。 变式:（2006，福建,文,22,本小题满分14分）已知数列 满足 （I）证明：数列 是等比数列；（II）求数列 的通项公式；（III）若数列 满足  证明 是等差数列  （I）证明： 是以 为首项，2为公比的等比数列  （II）解：由（I）得 （III）证明： ① ② ②－①，得 即 　③　 ④ ④－③，得 即 是等差数列  类型6 递推公式为 与 的关系式。(或 ) 解法：这种类型一般利用 与 消去 或与 消去 进行求解。 例：已知数列 前n项和 .（1）求 与 的关系；（2）求通项公式 . 解：（1）由 得： 于是 所以 . （2）应用类型4（ （其中p，q均为常数， ））的方法，上式两边同乘以 得： 由 .于是数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 变式:（06陕西,理,) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an   解: ∵10Sn=an2+5an+6， ①  ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3  又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0  ∵an+an－1>0  ， ∴an－an－1=5 (n≥2)  当a1=3时，a3=13，a15=73  a1， a3，a15不成等比数列 ∴a1≠3;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3  变式: (05,江西,文,已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式. 解： ， ，两边同乘以 ，可得 令 ……  …… 又 ， ， ， 。 类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 ,从而转化为 是公比为 的等比数列。 例:设数列 ： ，求 . 解：设 ，将 代入递推式，得 …（１）则 ,又 ，故 代入（１）得 说明：（1）若 为 的二次式，则可设 ;(2)本题也可由 , （ ）两式相减得 转化为 求之. 变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分） 已知数列｛ ｝中， 在直线y=x上，其中n=1,2,3…  (Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列 (Ⅲ)设 的前n项和,是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，试求出   若不存在,则说明理由 解：（ ）由已知得  又 是以 为首项，以 为公比的等比数列  （ ）由（ ）知， 将以上各式相加得： （ ）解法一：存在 ，使数列 是等差数列  数列 是等差数列的充要条件是 、 是常数 即 又 当且仅当 ，即 时，数列 为等差数列  解法二：存在 ，使数列 是等差数列  由（ ）、（ ）知， 又 当且仅当 时，数列 是等差数列  类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。 例：已知数列｛ ｝中， ，求数列 解：由 两边取对数得 ， 令 ，则 ，再利用待定系数法解得： 。 变式:（05江西,理）已知数列 （1）证明 （2）求数列 的通项公式an. 解：用数学归纳法并结合函数 的单调性证明： （1）方法一 用数学归纳法证明：1°当n=1时， ∴ ，命题正确.2°假设n=k时有   则 而 又 ∴ 时命题正确. 由1°、2°知，对一切n∈N时有 方法二：用数学归纳法证明： 1°当n=1时， ∴ ； 2°假设n=k时有 成立，  令 ， 在[0，2]上单调递增， 所以由假设有： 即 也即当n=k+1时  成立，所以对一切 （2）解法一： 所以  , 又bn=－1，所以 解法二： 由（I）知， ，两边取以2为底的对数， 令 ,则 或 变式:（06山东理）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… （1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； （3）记bn= ，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+ =1  解：（Ⅰ）由已知 ，                        ，两边取对数得 ，即 是公比为2的等比数列  （Ⅱ）由（Ⅰ）知           （*） =     由（*）式得 （Ⅲ） ， ， ，又 ， ，又 ，   类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 。 例：已知数列｛an｝满足： ，求数列｛an｝的通项公式。 解：取倒数： 是等差数列， 变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）已知数列｛an｝满足：a1＝ ，且an＝ （1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！ 解：（1）将条件变为：1－ ＝ ，因此｛1－ ｝为一个等比数列，其首项为 1－ ＝ ，公比 ，从而1－ ＝ ，据此得an＝ （n1）…………1 （2）证：据1得，a1a2…an＝ 为证a1a2……an2n！ 只要证nN时有 …………2 显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nN， 有 1－（ ）…3 用数学归纳法证明3式：n＝1时，3式显然成立，设n＝k时，3式成立， 即 1－（ ） 则当n＝k＋1时， 〔1－（ ）〕（ ） ＝1－（ ）－ ＋ （ ） 1－（ ＋ ）即当n＝k＋1时，3式也成立  故对一切nN，3式都成立  利用3得， 1－（ ）＝1－ ＝1－ 故2式成立，从而结论成立  类型10  解法：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中p、q、r、h均为常数，且 ），那么，可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,则 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 、 时，则 是等比数列。 例：已知数列 满足性质：对于 且 求 的通项公式.  解: 数列 的特征方程为 变形得 其根为 故特征方程有两个相异的根，使用 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 2的第（2）部分，则有 ∴ ∴   即 例：已知数列 满足：对于 都有 （1）若 求 （2）若 求 （3）若 求 （4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？ 解：作特征方程 变形得 特征方程有两个相同的特征根 依定理2的第（1）部分解答. (1)∵ 对于 都有 (2)∵ ∴ 令 ，得 .故数列 从第5项开始都不存在， 当 ≤4， 时， . (3)∵ ∴ ∴ 令 则 ∴对于 ∴ (4)显然当 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知， 时，数列 是存在的，当 时，则有 令 则得 且 ≥2. 继续阅读