线性方程组解的结构（解法）
一、齐次线性方程组的解法
【定义】 r(A)= r
表
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示.
则称
为AX = 0的基础解系.
称
为AX = 0的通解 。其中k1,k2,…, kn-r为任意常数).
齐次线性方程组的关键问
题
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就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系.
【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则
(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A为
矩阵）满足
，则只有零解；
(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是
.
（注：当
时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式
.）
注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于
.
2、非齐次线性方程组
的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组
所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若
是系数矩阵的行数（也即方程的个数），
是未知量的个数，则有：
（1） 当
时，
，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数
大于方程的个数就一定有非零解；
（2）当
时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式
；
（3）当
且
时，若系数矩阵的行列式
，则齐次线性方程组只有零解；
（4）当
时，若
，则存在齐次线性方程组的同解方程组；
若
，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0（A为
矩阵）通解的三步骤
（1）
（行最简形）; 写出同解方程组CX =0.
(2) 求出CX =0的基础解系
;
(3) 写出通解
其中k1,k2,…, kn-r为任意常数.
【例题1】 解线性方程组
解法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵
显然有
，则方程组仅有零解，即
.
解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即
）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即
），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式：
，知方程组仅有零解，即
.
注：此法仅对n较小时方便
【例题2】 解线性方程组
解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵
可得
，则方程组有无穷多解，其同解方程组为
（其中
，
，
为自由未知量）
令
，
，
，得
；
令
，
，
，得
；
令
，
，
，得
，
于是得到原方程组的一个基础解系为
，
，
.
所以，原方程组的通解为
（
，
，
）.
二、非齐次线性方程组的解法
求 AX = b 的解（
）
用初等行变换求解，不妨设前r列线性无关
其中
所以知
时,原方程组无解.
时,原方程组有唯一解.
时,原方程组有无穷多解.
其通解为
，
为任意常数。
其中：
为AX = b导出组AX = 0的基础解系，
为AX = b的特解，
【定理1】 如果
是非齐次线性方程组AX=b的解，
是其导出组AX=0的一个解，则
是非齐次线性方程组AX=b的解。
【定理2】如果
是非齐次线性方程组的一个特解，
是其导出组的全部解，则
是非齐次线性方程组的全部解。
由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为：
其中：
是非齐次线性方程组的一个特解，
是导出组的一个基础解系。
【例题3】判断下列命题是否正确, A为mn矩阵.
(1)若AX=0只有零解,则AX=b有唯一解. 答:错, 因r(A)=n, r(A)= n = r(A |b)?
(2)若AX=0有非零解,则AX=b有无穷多解. 答:错, 因r(A)
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