2019-2020年中考数学考点总动员系列 专题20 图形的变换

2019-2020年中考数学考点总动员系列 专题20 图形的变换 聚焦考点☆温习理解 一、平移 1、定义 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 2、性质 （1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动 （2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。 二、轴对称 1、定义 把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。 2、性质 （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。 （2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 （3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。 3、判定 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 4、轴对称图形 把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 三、旋转 1、定义 把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2、性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 四、中心对称 1、定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2、性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 考点五、坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y） 2、关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（x，-y） 3、关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（-x，y） 名师点睛☆典例分类 考点典例一、轴对称变换（含折叠）问题 【例1】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（ ） A．6 B．12 C． D． 【答案】D． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口． 【举一反三】 1.（山东泰安，第20题）（3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=，则FD的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】B． 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题． 2.（2015内江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为 ． 【答案】． 【解析】 试题 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处，∴DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，∴DC=2EF，AB=5，作AH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ADCH为矩形，∴AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，在Rt△ABH中，AH==，∴EF=．故答案为：． 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题． 考点典例二、点的对称 【例2】已知点关于y轴对称，则= ． 【答案】0. 【解析】∵点关于y轴对称， ∴. 考点：1.关于y轴对称的点的坐标特征；2.二元一次方程组的应用；3.求代数式的值. 【点睛】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数. 【举一反三】 1. （2015眉山）点P（3，2）关于y轴的对称点的坐标是_________． 【答案】（﹣3，2）． 考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标． 2.（2015凉山州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线对称点的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 【答案】C． 【解析】 试题分析：点P关于直线对称点为点Q，作AP∥x轴交于A， ∵是第一、三象限的角平分线，∴点A的坐标为（2，2），∵AP=AQ，∴点Q的坐标为（2，﹣3） 故选C． 考点：坐标与图形变化-对称． 考点典例三、平移 【例3】如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（ ） (A)16cm (B)18cm (C)20cm (D)22cm 【答案】C． 【点睛】根据平移的基本性质，①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；即可求出答案. 【举一反三】 1.（2015.山东济南，第9题,3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△，那么点A的对应点的坐标为（　　） 　 A． （4，3） B． （2，4） C． （3，1） D． （2，5） 【答案】D 考点：坐标与图形变化-平移． 2.（2015·辽宁大连）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移2个单位长度，所得到的点的坐标为（　　） A.（1，2） B.（3，0） C.（3，4） D.(5，2) 【答案】D 【解析】 试题分析：根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，可知横坐标应变为5，而纵坐标不变， 故选D. 考点：坐标的平移. 考点典例四、旋转变换（含中心对称）问题 【例4】如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（ ） A．0.4 B．1.5 C． D．1 【答案】D． 考点：1.旋转的性质；2.含30度直角三角形的性质；3. 等边三角形的判定和性质． 【点睛】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC﹣BD计算． 【举一反三】 1. (2015.天津市，第11题，3分)如图，已知在ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′.若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为( ) （A）130° （B）150° （C）160° （D）170° 【答案】C. 【解析】 试题分析：根据平行四边形的性质可得∠ADC=∠ABC=60°,在Rt△ABE中，可求得∠EAB=30°；由旋转的性质可得∠EAB=∠BA′E′=30°；在四边形AEA′D中，根据四边形的内角和为360°可求得∠DA′B=130°，所以∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=130°+30°=160°，故答案选C. 考点：平行四边形的性质；旋转的性质；据四边形的内角和为360°. 2.（2015.山东德州第6题，3分）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．35° B．40° C．50° D．65° 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C． 考点：旋转的性质． 课时作业☆能力提升 一、选择题 1. (山东日照，第1题，3分)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题分析：解：根据轴对称图形的概念可知：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选D． 考点：轴对称图形． 2.（2015甘孜州）下列图形中，是中心对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】 试题分析：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故A错误； B．不是轴对称图形，是中心对称图形．故B正确； C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故C错误； D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故D错误． 故选B． 考点：中心对称图形． 3. (2015·黑龙江哈尔滨）如图，在RtABC中，BAC＝，将ABC绕点A顺时针旋转后得到A（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接C。若C＝，则B的大小是（ ） (A) 32°　　(B) 64° (C) 77°　(D) 87° 【答案】C 考点：旋转图形的性质、三角形内角和定理. 4. (2015·湖北襄阳,12题)如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（　　） A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝ D．AF＝EF 【答案】D． 由已知条件无法确定AF和EF的关系，故选D． 考点：翻折变换（折叠问题）． 5.(2015·湖北孝感）在平面直角坐标系中，把点向右平移8个单位得到点，再将点绕原点旋转 得到点，则点的坐标是 ( ) A. B． C． D．或 【答案】D. 【解析】 试题分析：向右平移8个得（3，3），再旋转90°，分顺时针和逆时针两种，顺时针旋转得时候得到答案为，逆时针旋转的时候答案为. 故选：D. 考点：坐标系. 6.（2015.山东泰安，第20题）（3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=，则FD的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】B． 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题． 7.（山东菏泽第8题，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（　　） A． （﹣1，） B．（﹣2，） C．（，1） D．（，2） 【答案】A． 考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．一次函数图象上点的坐标特征． 8.（2015·湖北鄂州，8题，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE 沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF = （ ） A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】 试题分析：由翻折易知BE=EF,因为点E是BC的中点，故BE=EC=6，所以FE=EC=6，∠EFC=∠ECF,再由四边形内角和可求出∠EFC+∠ECF=∠BEF，从而可得∠ECF=∠BEA，进而求得答案. 试题解析：根据题意得：BE=EF=6，∠B=∠AFE, ∠BEA=∠FEA ∵E是BC的中点 ∴BE=EC=6 ∴FE=EC=6 ∴∠EFC=∠ECF 又∵∠BAF+∠B+∠BEF+∠AFE=360° ∴∠BAF+∠BEF=180° 又∵∠FEC+∠BEF=180° ∠FEC+∠FCE+∠EFC=180° ∴∠ECF=∠BEA 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE= sin∠BEA= ∴sin∠ECF= 故选D. 考点：翻折问题. 二、填空题 9.(2015.上海市，第18题，4分)已知在中，，．将绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处．延长线段，交原的边的延长线于点，那么线段的长等于___________． 【答案】 【解析】 试题分析：如图，由旋转的性质知，，，过作交于，而，，故.在中，易求得，故，为等腰直角三角形，，所以. 考点：1.旋转的性质；2.含的直角三角形的性质；3.三角形的内角和. 10.(2015.宁夏，第13题，3分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,4），△OAB沿x轴向右平移后得到△OAB，点A的对应点A是直线上一点，则点B与其对应点B间的距离为 ． 【答案】5. 考点：平移的性质；正比例函数图象上点的特征. 11. （2015.山东莱芜第16题）在平面直角坐标系中，以点、、为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△（点分别为点的对应点），然后以点为中心将△顺时针旋转，得到△（点分别是点的对应点），则点的坐标是 . 【答案】（11,7） 考点：平移与旋转变换 12. （2014·梅州）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= °. 【答案】55. 【解析】 试题分析：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，∴∠ACA′=35°，∠A =∠A′，. ∵∠A′DC=90°，∴∠A′ =55°. ∴∠A=55°. 考点：1.旋转的性质；2.直角三角形两锐角的关系. 13.(2015·湖北荆门，16题，3分)在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD沿直线l向右翻滚两次至如图所示位置，则点B所经过的路线长是 （结果不取近似值）． 【答案】12.5π． 【解析】试题分析：连接BD．在直角△ABD中，BD==13，则顶点B所经过的路线长：=12.5π．故答案为：12.5π． 考点：1．轨迹；2．弧长的计算；3．旋转的性质． 14.（2015绵阳）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为 ． 【答案】． 【解析】 试题分析：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，∴△ADE为等边三角形，∴DE=AD=5，过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，在Rt△DHE中，，在Rt△DHE中，，∴，解得x=，∴EH==，在Rt△EDH中，tan∠HDE===，即∠CDE的正切值为．故答案为：． 考点：1．旋转的性质；2．等边三角形的性质；3．解直角三角形；4．综合题． 15.（2015·辽宁沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK= ． 【答案】． 【解析】 考点：旋转的性质． 16. （2015·湖南常德）已知A点的坐标为（－1,3），将A点绕坐标原点顺时针90°，则点A的对应点的坐标为　　　　 【答案】（3,1） 【解析】 试题分析：根据题意可知此题是旋转变换题，可根据题意作出草图如下： 由图可知△BCO≌△EDO，故可知BC＝OE，OC＝DE 答案为：（3,1） 考点：坐标点的变换规律 三、解答题 17.(2015·湖北衡阳，23题，分)（本小题满分6分） 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1； （2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上． ①旋转角为多少度？ ②写出点B2的坐标． 【答案】 （1）△ABC关于轴对称的△A1B1C1如图所示； （2）①由图可知，旋转角为90°； ②点B2的坐标为（6，2）． 【解析】 试题分析： （1）关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，描点作图即可； （2）①AC2 与AC的夹角为90°，所以旋转角为90°；②观察旋转可知B2 的横坐标是：A的横坐标+AB的长，其纵坐标为A的纵坐标. 试题解析： （1）△ABC关于轴对称的△A1B1C1如图所示； （2）①由图可知，旋转角∠CAC2 =90°，即旋转了90°； ②∵A（3，2）、B（3，5）∴AB=5-2=3=AB2 ，B2 的横坐标是3+3=6，B2 的纵坐标是2， ∴B2的坐标为（6，2）． 考点： 点的坐标；图形的变换—旋转；作图—图形变化类 18..(2015.安徽省，第17题，8分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点)． (1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； (2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2＝C3B2． 【答案】(1)见解析；（2）见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据轴对称作图作出即可；（2）根据平移的性质作出A2C2,在作出△A2B2C2,使A2C2=C2B2 (答案不唯一). 试题解析：(1)△A1B1C1如图所示；（2）线段A2C2和△A2B2C2如图所示（符合条件的△A2B2C2不唯一）． 考点：轴对称作图；平移的性质. 19.（8分）（2015•聊城，第19题）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）． （1）将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标； （2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标． 【答案】（1）点坐标为：（﹣2，﹣1）；（2）点的坐标为：（1，1） 【解析】 试题分析：（1）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案； （2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 试题解析：解：（1）如图所示：△，即为所求；点坐标为：（﹣2，﹣1）； （2）如图所示：△，即为所求，点的坐标为：（1，1）． 考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换 20.（2015南充）（10分）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q． （1）求证：△APP′是等腰直角三角形； （2）求∠BPQ的大小； （3）求CQ的长． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）45°；（3）． 试题解析：（1）∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，∴AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，∵∠PAD+∠PAB=90°，∴∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，∴△APP′是等腰直角三角形； （2）由（1）知∠PAP′=90°，AP=AP′=1，∴PP′=，∵P′B=PD=，PB=，∴，∴∠P′PB=90°，∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠APP′=45°，∴∠BPQ=180°﹣90°﹣45°=45°； （3）作BE⊥AQ，垂足为E，∵∠BPQ=45°，P′B=，∴PE=BE=2，∴AE=2+1=3，∴AB==，BE==2，∵∠EBQ=∠EAB，cos∠EAB=，∴cos∠EBQ=，∴，∴BQ=，∴CQ=－=． 考点：1．几何变换综合题；2．四边形综合题；3．压轴题． A B C l 第17题图