二元一次方程组
◆知识讲解
1．二元一次方程组的有关概念
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．
二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．
2．二元一次方程组的解法
代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种
方法
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叫做代入消元法．
加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．
3．二元一次方程组的应用
对于含有多个未知数的问
题
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，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：
（1）选定几个未知数；
（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；
（3）解方程组，得到方程组的解；
（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．
◆例题解析
例1 已知
是方程组
的解，求（m+n）的值．
【解答】把x=2，y=1代入方程组
中，得
①②
由①得m=－1，由②得n=0．
所以当m=－1，n=0时，（m+n）=（－1+0）=－1．
例2 （长沙市中考）“5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？
【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x，y顶，则
解得：x=41；y=32
例4 （昆明市中考）为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m3，其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m3．
（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？
（2）在修建甲水厂的输水管道的
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
中要运走600t土石，运输公司派出A型，B型两种载重汽车，A型汽车6辆，B型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A型汽车3辆，B型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A型汽车，每辆B型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）
【解答】（1）设甲水厂的供水量是x万m3，则乙水厂的日供水量是3x万m3，丙水厂的日供水量是（
x+1）万m3．
由题意得：x+3x+
x+1=11.8，解得x=2.4．
则3x=7.2，x+1=2.2．
答：甲水厂日供水量是2.4万m3，乙水厂日供水量是7.2万m3，丙水厂日供水量是2.2万m3．
（2）设每辆A型汽车每次运土石xt，每辆B型汽车每次运土石yt，由题意得：
∴
答：每辆A型汽车每次运土石10t，每辆B型汽车每次运土石15t．
◆强化训练
一、填空题
1．若2xm+n－1－3ym－n－3+5=0是关于x，y的二元一次方程，则m=_____，n=_____．
2．在式子3m+5n－k中，当m=－2，n=1时，它的值为1；当m=2，n=－3时，它的值是_____．
3．若方程组
的解是
，则a+b=_______．
4．已知方程组
的解x，y，其和x+y=1，则k_____．
二、选择题
5．二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知
是方程组
的解，则a+b的值等于（ ）
A．1 B．5 C．1或5 D．0
7．已知│2x－y－3│+（2x+y+11）2=0，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在解方程组
时，一同学把c看错而得到
，正确的解应是
，那么a，b，c的值是（ ）
A．不能确定 B．a=4，b=5，c=－2
C．a，b不能确定，c=－2 D．a=4，b=7，c=2
9．（2008，河北）如图4－2所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（ ）
A．20g B．25g C．15g D．30g
10．4辆板车和5辆卡车一次能运27t货，10辆板车和3辆卡车一次能运20t货，设每辆板车每次可运xt货，每辆卡车每次能运yt货，则可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解答题
11．解下列方程组：
（1）（2008，天津市）
（2）（2005，南充市）
12．（2003，常州市）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．
购苹果数
不超过30kg
30kg以下但
不超过50kg
50kg
以上
每千克价格
3元
2.5元
2元
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？
答案
1．3；－1 2．－7 3．8 4．k=
5.C
6．C 7．D 8．B 9．A 10．C
11．（1）由②得y=2x－1 ③
把③代入①得：3x+5（2x－1）=8
即x=1
把x=1代入③得y=1
∴原方程组的解为
（2）化简方程组，得
④代入⑤，得y=－3．
将y=－3代入，得x=1
故原方程组的解是：
12．（1）乙班共付出70×2=140（元），乙班比甲班少付出189－140=49（元）．
（2）设甲班第一次买苹果xkg，第二次买苹果ykg（x
30（否则，x+y≤60<70）．
依题意有
或者
解之，得
或者
（不合题意，舍去）
②若3050，
当y>50，x+y>80>70，不合题意．
当3050，y>x，则x+y>70，不合题意．
故甲班第一次买苹果28kg，第二次买苹果42kg．
二元一次方程组·练习
填空题
1．已知x，y，t满足方程组
，则x和y之间应满足的关系式是_______．
2．（2008，宜宾）若方程组
的解是
，那么│a－b│=_____．
3．某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共460元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子共660元，则每件衬衫售价为_______，每条裤子售价为_______．
4．（2004，泰州市）为了有效地使用电力资源，我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点，每天8：00至21：00用电每千瓦时0.55元（“峰电”价），21：00至次日8：00用电每千瓦时0.30元（“谷电”价），王老师家使用“峰谷”电后，五月份用电量为300kW·h，付电费115元，则王老师家该月使用“峰电”______kW·h．
选择题
5．七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了14名，这时男女同学之比为5：3，后来男同学又走了22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（ ）
A．39名 B．43名 C．47名 D．55名
6．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表：
捐款/元
1
2
3
4
人数
6
7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．
若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组．（ ）
A．
B．
C．
D．
7．甲，乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则ah相遇；若同向而行，则bh甲追 上乙，那么甲的速度是乙的速度为（ ）
A．
倍 B．
倍 C．
倍 D．
倍
8．学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺张数，信封个数分别为（ ）
A．150，100 B．125，75 C．120，70 D．100，150
1．15y－x=6 2．1 3．20元 80元 4．100
5．C 6．A 7．C 8．A
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