优化技术(Optimization)
北京航空航天大学 720研究所，国家888/CIMS
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
自动化工程实验室
合作设计与优化研究小组 韩明红 廖馨 编著
一、 iSIGHT对优化问题的
表
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达
不同的优化软件对优化问题的表达方式是不一样的，iSIGHT对优化问题表述如下：
目标：
满足
等式约束：
；k＝1，…，K
不等式约束：
；j＝1，…，L
设计变量： 对于整型和实型数
对于离散型参数是输入参数集合S
其中，SF——规模因子，默认值为1.0；
W——权重因子，默认值为1.0；
有关上述表达方式的几点说明：
● 所有问题在iSGHT内部都被转换成一个加权的最小化问题。目标包含有很多iSIGHT参数，目标根据重要程度都有相应的权重因子和规模因子。如果一个目标是最大化，那么就在它的权重因子前加负号。
● 如果你的优化技术是一个基于罚函数的技术，那么最小化问题就象上面所述，只需在后面加上惩罚项即可。
● 所有的等式约束h(x)都有一个范围，
，在这个范围内约束不认为是冲突的。默认的范围是±0.00001。每个约束也有权重因子和规模因子。
● 所有不等式约束g(x)都认为是非线性的。如果一个输出参数有上下边界，那么iSIGHT就会自动转换成两个不等式约束。每个约束也有权重因子和规模因子。
● iSIGHT设计变量X，可以是实数、整数或离散变量。如果X是实数和整数变量，那么X值必须满足上下边界条件，如果没有边界条件，默认值是1E15。这个默认值也可以通过参数对话框进行修改。
● iSIGHT按照每个设计变量都有上下边界来进行计算，如果变量是离散的，iSIGHT需要设计变量的值在给定的约束集合内，ISIGHT内部默认的上边界是n－1，下边界是0，其中n为系统允许值，这个值可以通过API函数进行修改。
二、 优化技术的分类
本部分对iSIGHT中每种优化技术进行简要的介绍。
iSIGHT中的优化技术分为三类：
● 数值型优化技术（Numerical Optimization Techniques）
● 探索型优化技术（Exploratory Techniques）
● 专家系统技术（Expert System Techniques）
这些优化技术如下所示：
1．数值型优化技术
数值型优化技术通常假定参数空间是单峰的、凸的和连续的，该软件中使用了如下的数值型优化技术：
● ADS (Automated Design Synthesis)-based Techniques
● 外点罚函数法（Exterior Penalty）
● 修正可行方向法（Modified Method of Feasible Directions）
● 连续线性规划 (Sequential Linear Programming)
● 广义既约梯度法(Generalized Reduced Gradient - LSGRG2)
● Hooke-Jeeves直接搜索法(Hooke-Jeeves Direct Search Method)
● 可行方向法– CONMIN（Method of Feasible Directions – CONMIN）
● 混合整型优化– MOST（Mixed Integer Optimization – MOST）
● 连续二次规划法– DONLP（Sequential Quadratic Programming– DONLP）
● 连续二次规划法– NLPQL（Sequential Quadratic Programming – NLPQL）
● 逐次逼近法（Successive Approximation Method）
数值型搜索技术又可以分成如下两类：
（1）直接法（Direct methods）
直接法在搜索过程中直接处理约束。
直接法包括：
● 广义梯度下降法(Generalized Reduced Gradient - LSGRG2)
● 可行方向法– CONMIN（Method of Feasible Directions – CONMIN）
● 混合整型优化– MOST（Mixed Integer Optimization – MOST）
● 修正可行方向法（Modified Method of Feasible Directions－ADS）
● 连续线性规划 (Sequential Linear Programming- ADS)
● 连续二次规划法– DONLP（Sequential Quadratic Programming – DONLP）
● 连续二次规划法– NLPQL（Sequential Quadratic Programming – NLPQL）
● 连续逼近法（Successive Approximation Method）
（2）罚函数法（Penalty methods）
罚函数方法和直接法不同，他们并不直接处理约束。罚函数法通过给目标函数增加一个惩罚项将约束问题转换成无约束问题进行处理：
转换出的无约束问题就是使
最小化或最大化。
对于罚函数法的效率和鲁棒性和直接法比较的研究显示，直接法更加健壮，只需要很少的函数评估。而当你使用一个罚函数法的时候，函数评估的次数会成倍增加。
罚函数法包括：
● 外点罚函数法（Exterior Penalty）
● Hooke-Jeeves直接搜索法(Hooke-Jeeves Direct Search Method)
2．探索型优化技术
探索型优化技术避免了集中在局部区域的搜索，这些技术遍历整个参数空间搜索全局最设计优点。iSIGHT中这种技术有：
● 遗传算法（Genetic Algorithm）
● 批处理遗传算法（Genetic Algorithm with Bulk Evaluation）
● 模拟退火算法（Simulated Annealing）
3．专家系统技术
专家系统技术使优化沿着用户定义的方向进行改变，改变哪一项，怎么改变，什么时候改变，这些都由用户自己定义。iSIGHT中这样的技术为有指导启发式搜索方法（Directed Heuristic Search－DHS）。如果用户知道输入怎样影响输出结果的话，这种方法效率很高。
三、 数值型优化技术
下面对每种优化技术进行一下介绍。
1．外点罚函数法(Exterior Penalty)
外点罚函数法广泛的用于含有约束条件的优化问题。在处理含有约束条件的优化问题时，借助惩罚函数把约束问题转化为无约束的问题，进而用无约束的最优化方法求解。实现这一目标的途径是由目标函数和约束函数组成辅助函数来完成的。如果该问题存在最优解，其优化结果通常是可信的，并且相对来说更容易找到真正的最优解。当惩罚因子趋向∞(
)时，无约束优化问题的最优解趋向一个极限点，这个极限点就是原问题的最优解。
外点罚函数法主要有如下特性：
● 广泛地用于约束优化问题；
● 容易编程，使用无约束优化来解决问题；
● 可信赖，如果相对最小值存在，相对容易找到真正的最优值；
● 能从不可行区域内逼近最优值，在从罚函数参数
到
的极限下是可行的。
外点罚函数法的公式表达如下：
2．修正可行方向法(Modified Method of Feasible Directions)
修正可行方向法是直接数值优化技术中的一种，主要用来解决约束优化问题。该方法可以快速地获得最优解。约束可以是等式的，也可以是不等式的，并且获得最优解时可以以很高的精度满足约束条件。该方法有如下特点：
● 能快速得到一个优化设计；
● 能处理不等式和等式约束；
● 在优化中能十分准确地满足约束。
下面是修正可行方向法的解决问题步骤：
1.
2.
3. 求
和
的值；
4. 确定临界的约束集，J
5. 计算
和
，
6. 确定可用和可行的搜索方向，
7. 进行一维搜索寻找
8. 令
9. 检查收敛性；如果不收敛转到第2步
修正可行性方向法技术用以下几种方法之一来寻找每一次迭代的搜索方向：
（1）如果没有约束起作用或冲突，那么使用无约束方法中的变梯度法。
（2）如果有任何约束起作用并且没有约束冲突，使用修正可行性方向法：
最小化
满足：
（3）如果一个或多个约束冲突，使用修正可行方向法：
最小化
满足：
其中，J是起作用和冲突的约束的集合
是一个大的正数
是约束的一个偏离因子
对于起作用的约束
对于冲突的约束
起作用和冲突的约束如下确定：
如果
，
是起作用的
如果
，
冲突
图1 起作用和冲突约束识别
3．连续线性规划 (Sequential Linear Programming)
连续线性规划法首先将目标函数和约束条件在起始设计点
处以一阶泰勒级数展开，将原问题转化为线性规划问题。这样就可以用线性规划中的算法进行求解，得到下一次的设计点
。一般说来，这个新的设计点
比起始设计点
更接近原问题的最优点。在下一次的迭代中将原问题在
处以一阶泰勒级数展开。如此反复，以线性规划问题去近似非线性规划问题，希望每次迭代得到的新的设计点都比前一个设计点更接近原问题的最优点。而在新的设计点上的近似子问题，也愈来愈接近原非线性问题最优点的附近区域。最终线性规划问题的最优点可以以很高的精度接近原问题的最优点。
该方法主要解决约束优化问题，编程简单，已经在很多实际工程设计问题中得到了应用。该方法有如下一些特点：
● 容易规划并且可应用于许多实际工程设计问题中；
● 在选择移动界限和这些界限中的缩减因子以有效地获得最优值方面较为困难。
以下是执行连续线性规划的步骤：
1. 使目标和约束函数线性化：
2. 通过线性规划方法或其他优化器来解决这个线性逼近问题。
3. 重新线性化，转换逼近上的移动界限，并且重复到收敛点。
4. 移动线性逼近上的界限。
图2 连续线性规划
4．广义既约梯度法(LSGRG2)
这种技术使用广义既约梯度法解决约束非线性优化问题。既约梯度法是目前求解非线性优化问题的最有效的方法之一。这种方法使用一种搜索方向，在这个方向上对于一些小偏移所有约束都仍然起作用。同时这种方法通过消去某些变量在降维空间中的运算，能够较快的确定最优解，可用来求解大型的问题。
广义既约梯度法有如下特性：
● 适合于非线性的设计空间；
● 不适合不连续的设计空间；
● 在初始设计点周围遍寻局部空间；
● 依照起作用的约束来优化设计；
● 直接处理不等和等式约束。
LSGRG2用一般既约梯度算法来解决约束非线性优化问题。算法用一条使得活动约束仍在小偏移上起作用的搜索路径。广义既约梯度方法是对原始的既约梯度法的扩展。这个扩展包括在每一个不等约束上加上一个松弛变量：
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