2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线课件(文科)新人教版

§9.7　抛物线 基础知识　自主学习 课时作业 题型分类　深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 . 知识梳理 焦点 相等 准线 2.抛物线的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 1.抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F 的距离|PF|＝x0＋ ，也称为抛物线的焦半径. 2.y2＝ax的焦点坐标为 ，准线方程为x＝－ . 3.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝ ，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角). (3)以弦AB为直径的圆与准线相切. (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是( ，0)，准线方程是x＝－ .(　　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　　) (4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F( ，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝ ，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　　) × × √ × 考点自测 A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 解析 1.(2016·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是 ∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为 ， ∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0). A.1 B.2 C.4 D.8 2.(2017·济宁月考)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝ x0，则x0等于 答案 解析 3.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1. 答案 解析 A. B.[－2,2] C.[－1,1] D.[－4,4] 几何画板展示 4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为_________________. 设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y. 答案 解析 y2＝－8x或x2＝－y 5.(2017·合肥调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________. 2 答案 解析 题型分类　深度剖析 题型一　抛物线的定义及应用 例1　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________. 答案 解析 4 几何画板展示 引申探究 1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值. 解答 几何画板展示 2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值. 解答 几何画板展示 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 跟踪训练1　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为______. 答案 解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1， 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P 到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P， 使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为 . 几何画板展示 题型二　抛物线的标准方程和几何性质 命题点1　求抛物线的标准方程 例2　已知双曲线C1： (a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为　 C.x2＝8y D.x2＝16y 答案 解析 命题点2　抛物线的几何性质 例3　已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝ ； 证明 证明 证明 (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此. 跟踪训练2　(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4 ，|DE|＝2 ，则C的焦点到准线的距离为 A.2 B.4 C.6 D.8 答案 解析 (2)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ＝________. 答案 解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0). 又|PF|＝3，由抛物线定义知：点P到准线x＝－1的距离为3， ∴点P的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8， 得2x2－5x＋2＝0， 题型三　直线与抛物线的综合问题 命题点1　直线与抛物线的交点问题 例4　已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若 ＝0，则k＝________. 答案 解析 2 命题点2　与抛物线弦的中点有关的问题 例5　(2016·全国丙卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点. (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ； 证明 几何画板展示 (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. 解答 几何画板展示 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. 跟踪训练3　(2016·天津模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0). 由已知，得x＝4不合题意， 设直线l的方程为y＝k(x－4)， 由已知，得抛物线C的焦点坐标为(1,0)， 解答 (2)设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值. 证明 设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为AB不垂直于x轴， 即线段AB中点的横坐标为定值2. 典例　(12分)已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标； 答案模板系列6 (2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值； (3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 答题模板 思维点拨 直线与圆锥曲线问题的求解策略 规范解答 返回 返回 课时作业 1.(2017·太原月考)若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 2.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 A.x＝1 B.x＝－1 C.x＝2 D.x＝－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(2016·绵阳模拟)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线， 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)， 则点P到直线l2：x＝－1的距离等于|PF|， 过点F作直线l1：4x－3y＋6＝0的垂线， 和抛物线的交点就是点P， 所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和直线l2：x＝－1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离， 4.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 的值一定等于 A.－4 B.4 C.p2 D.－p2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)， ∴λ＝3，故选D. *6.(2016·济南模拟)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 抛物线C的准线为l：x＝－2， 直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)， 如图，过A，B分别作AM⊥l于M， BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，得|AM|＝2|BN|， 从而点B为AP的中点，连接OB， 7.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 12 方法二　由抛物线焦点弦的性质可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为 的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若 ，则p＝__. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 答案 解析 9.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(2016·大连模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为__________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图所示，由题意，可得|OF|＝1，由抛物线的定义，得|AF|＝|AM|， ∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1， 11.(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)证明：A1B1∥A2B2； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 由(1)知A1B1∥A2B2， 同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2， 所以△A1B1C1∽△A2B2C2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13