概率论与数理统计习题二及答案

西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 答案 1 概率论与数理统计 B 习题二答案 A 1. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由。 （1） 15 i i p  ( 0,1,2,3,4,5)i  ； （2） 6 )5( 2i pi   ( 0,1,2,3)i  ； （3） 25 1  i pi ( 1,2,3,4,5)i  。 解：要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证 ip 是否满足下列二 个条件：其一条件为 ,2,1,0  ipi ，其二条件为 1 i ip 。 依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量 的分布律，因为 0 6 4 6 95 3   p ；（3）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为    5 1 1 25 20 i ip 。 2. 一袋中有 5个乒乓球，编号分别为 1，2，3，4，5.从中随机地取 3个，以 X 表示取 出的 3个球中最大号码，写出 X 的分布律和分布函数。 解：依题意 X 可能取到的值为 3，4，5，事件 3X 表示随机取出的 3 个球的最大号 码为 3，则另两个球的只能为 1号，2号，即   10 1 3 5 1 3        XP ；事件 4X 表示随机取 出的 3 个球的最大号码为 4，因此另外 2 个球可在 1、2、3 号球中任选，此时   10 3 3 5 2 3 1 4               XP ；同理可得   10 6 3 5 2 4 1 5               XP 。 X 的分布律为 X 3 4 5 概率 10 1 10 3 10 6 西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案 2 X 的分布函数为 0 3x  xF 10 1 43  x 10 4 54  x 1 5x 3. 从一批含有 10件正品及 3件次品的产品中一件一件地抽取产品.设每次抽取时，所面 对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次 数 X 的分布律： （1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2）每次取出的产品都不放回这批产品中； （3）每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中。 解：（1）设事件 ,2,1, iAi 表示第 i次抽到的产品为正品，依题意，  ,,,1 nAA 相互 独立，且   ,2,1, 13 10  iAP i 而            ,2,1, 13 10 13 3 1 1111          kAPAPAPAAAPkXP k kkkk 即 X服从参数 13 10 p 的几何分布。 （2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X 可能取到的值为 1，2，3，4，         10 3 10 5 1 , 2 , 13 13 12 26 3 2 10 5 3 2 1 10 1 3 , 4 13 12 11 143 13 12 11 10 286 P X P X P X P X                        。 X 的分布律为 X 1 2 3 4 概率 13 10 26 5 143 5 286 1 （3）X 可能取到的值为 1，2，3，4，         10 3 11 33 1 , 2 , 13 13 13 169 3 2 12 72 3 2 1 6 3 , 4 13 13 13 2197 13 13 13 2197 P X P X P X P X                      。 所求 X 的分布律为 X 1 2 3 4 概率 13 10 169 33 2197 72 2197 6 4. 设随机变量 X ),6(~ pB ，已知 )5()1(  XPXP ，求 p 与 )2( XP 的值。 西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案 3 解：由于  pBX ,6~ ，因此     6,,1,0,1 6 6 6         kpp k XP kk 。 由此可算得        ,165,161 55 ppXPppXP  即    ,1616 55 pppp  解得 2 1 p ； 此时，   64 15 2 1 !2 56 2 1 2 1 2 6 2 6262                             XP 。 5. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量 X 服从参数 4 的泊松分布， 问在月初进货时，要进多少才能以 99％的概率充分满足顾客的需要？ 解：设至少要进 n件物品，由题意 n应满足     ,99.0,99.01  nXPnXP 即   99.0 ! 4 1 1 0 4      n k k e k nXP ，则   99.0 ! 4 0 4     n k k e k nXP ， 查泊松分布表可求得 9n 。 6. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.000 1.在某 天该段时间内有 1 000辆汽车通过，求事故次数不少于 2的概率。 解：设 X 为 1000 辆汽车中出事故的次数，依题意，X 服从 0001.0,1000  pn 的二项 分布，即  0001.0,1000~ BX ，由于 n较大， p 较小，因此也可以近似地认为 X 服从 1.00001.01000  np 的泊松分布，即  1.0~ PX ，所求概率为       0 1 0.1 0.1 2 1 0 1 0.1 0.1 1 0! 1! 1 0.904837 0.090484 0.004679 P X P X P X e e               。 7. 设随机变量X 的密度函数为 2 , ( ) 0, x f x     0 ,x A  其他, 试求：（1）常数A;（2） )5.00(  XP 。 解：（1）  xf 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为   0xf ；其二为     1dxxf ，因此有  A xdx 0 12 ，解得 1A ，其中 1A 舍去，即取 1A 。 （2）分布函数        x dxxfxXPxF =           x x x dxxdxdx xdxdx dx 1 0 1 0 0 0 020 20 0 1 10 0    x x x 西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案 4 = 1 0 2x 1 10 0    x x x 8. 设随机变量 X 的密度函数为 ( ) e xf x A  ( )x    ，求：（ 1）系数 A；（2） )10(  XP ；（ 3） X 的分布函数。 解：（1）系数 A必须满足     1dxAe x ，由于 xe 为偶函数，所以          122 0 0 dxAedxAedxAe x xx 解得 2 1 A ； （2）    11 0 1 0 1 2 1 2 1 2 1 10     edxedxeXP xx ； （3）      x dxxfxF =         x xx x x dxedxe dxe 0 0 2 1 2 1 2 1 0 0   x x =       x xx x x dxedxe dxe 0 0 2 1 2 1 2 1 0 0   x x =  x x e e  1 2 1 2 1 2 1 0 0   x x = x x e e  2 1 1 2 1 0 0   x x 9. 证明：函数 2 2e , 0, ( ) 0, 0, x c x x f x c x        （c为正的常数）可作为一个密度函数。 证明：由于   0xf ，且   1 2 0 2 2 0 22 222                   c x c x c x e c x dedxe c x dxxf ， 因此  xf 满足密度函数的二个条件，由此可得  xf 为某个随机变量的密度函数。 西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案 5 10. 设随机变量 X 的分布函数为 0 ( ) 1 (1 )e x F x x       , 0, , 0, x x   求 X 的密度函数，并计算 )1( XP 和 )2( XP 。 解：由分布函数  xF 与密度函数  xf 的关系，可得在  xf 的一切连续点处有    xFxf  ，因此  xf ,0 ,xxe 其他 0x 所求概率       11 2111111   eeFXP ；          22 3211121212   eeFXPXP 。 11. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（单位：min）是一随机变量，它服从 5 1  的指数分布，其密度函数为 5 1 e ( ) 5 0 x f x       , 0, , x  其它. 某顾客在窗口等待服务，若超过 10 min，他 就离开。 （1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率； （2） 设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率。 解：（1）设随机变量 X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意 X服从 5 1  的指数分布，且顾客等待时间超过 10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为        10 25 5 1 10 edxeXP x ； （2）设 Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则 Y 服从 2,5  epn 的二项 分布，所求概率为               422 4225202 141 1 1 5 1 0 5 101                  ee eeee YPYPYP 12. 设随机变量X 服从 )1,0(N ，借助于 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布的分布函数表计算：（1） )2.2( XP ; （2） )76.1( XP ;（3） )78.0( XP ;（4） )55.1( XP ;（5） )5.2( XP 。 解：查正态分布表可得 （1）     9861.02.22.2 XP ； 西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案 6 （2）       0392.09608.0176.1176.1176.1  XPXP ； （3）       2177.07823.0178.0178.078.0 XP ； （4）        55.155.155.155.155.1  XPXP        8788.019394.02155.1255.1155.1  （5）       15.2215.215.2  XPXP     0124.09938.0125.222  。 13. 设随机变量 X 服从 )16,1(N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算： （ 1） )44.2( XP ;（ 2） )5.1( XP ;（ 3） )8.2( XP ;（ 4） )4( XP ;（ 5） )25(  XP ;（ 6） )11( XP ;（7）确定 a，使得 )()( aXPaXP  。 解：当  2,~ X 时，                      ab bXaP ，借助于该性质，再查 标准正态分布函数表可求得： （1）     8051.086.0 4 144.2 44.2        XP ； （2）    125.01 4 15.1 15.1        XP      5498.0125.0125.011  ； （3）       3264.06736.0145.0145.0 4 18.2 8.2        XP ； （4）      75.025.1 4 14 4 14 4               XP     6678.07734.018944.075.0125.1  ； （5）      175.0 4 15 4 12 25                XP     9321.018413.07734.01175.0  ； 西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案 7 （6）                            4 10 4 12 120111111 XPXPXP     8253.05987.07724.0125.075.01  ； （7） 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 P X a P X a P X a P X a P X a           1 1 1 ( ) 0 1 4 2 4 a a a          。 14. 某厂生产的滚珠直径 X 服从正态分布 )01.0,05.2(N ，合格品的规格规定直径为 2.02 ，求滚珠的合格率。 解：所求得概率为   2.2 2.05 1.8 2.05 2 0.2 2 0.2 0.1 0.1 P X                          1.5 2.5 1.5 1 2.5      0.9332 1 0.9938 0.927    15. 某人上班路上所需的时间 )100,30(~ NX （单位：min），已知上班时间是 8：30. 他每天 7：50分出门，求:（1）某天迟到的概率；（2）一周（以 5天计）最多迟到一次的概 率。 解：（1）由题意知某人路上所花时间超过 40分钟，他就迟到了，因此所求概率为     1587.08413.0111 10 3040 140        XP ； （2）记 Y 为 5 天中某人迟到的次数，则 Y 服从 1587.0,5  pn 的二项分布，5 天 中最多迟到一次的概率为         8192.08413.01587.0 1 5 8413.01587.0 1 5 1 450             YP 。 16. 设随机变量 X在  6,1 上服从均匀分布，求方程 012  Xtt 有实根的概率。 解：X 的密度函数为  xf , 5 1 61  x ； ,0 其他。 方程 012  Xtt 有实根的充分必要条件为 042 X ，即 42 X ，因此所求得概率为           6 2 2 5 4 5 1 022224 dxXPXPXXPXP 或 。 17. 设随机变量 2~ (10,2 )X N ，令 3 2Y X  ，试求：（1）Y 的概率密度函数；（2） 概率 {26 38}P Y  （ (0.5) 0.6915  ， (1) 0.8413  ）。 西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案 8 解：因为 2~ (10,2 )X N ，故 23 2 ~ (32,6 )Y X N  （1）Y 的概率密度函数为： 2( 3 2 ) 72 1 ( ) 6 2 y Yf y e y         （2）     38 32 26 32 {26 38} 1 1 6 6 P Y                       2 1 1 0 . 8 4 1 3 0 . 6 8 2 6     。 18. 设随机变量 X的概率密度为        其它0 2 cos )(  xxA xfX ，试求：（1）常数 A；（2） XY sin 的概率密度。 解：（1）因为 / 2 / 2 / 2 / 2 1 ( ) cos sin | 2f x dx A xdx A x A               ，故 1 2 A  ； （2）因为 1 cos ( ) 2 2 0 X x x f x      其它 ， siny x ， cos 0( / 2)y x x     ， ( ) arcsinx h y y  ， 2 1 ( ) 1 1 1 h y y y       所以由公式可得： 2 1 1 1 ( ( )) ( ) cos(arcsin ) 1 1 2 2( ) 1 0 X Y f h y h y y y f y y            其他 19. 设 X的分布律为 X -2 -0.5 0 2 4 概率 8 1 4 1 8 1 6 1 3 1 求出：以下随机变量的分布律。（1） 2X ；（2） 1 X ；（3） 2X 。 解：由 X的分布律可列出下表 概率 8 1 4 1 8 1 6 1 3 1 X -2 -0.5 0 2 4 2X 0 1.5 2 4 6 1 X 3 1.5 1 -1 -3 2X 4 0.25 0 4 16 由此表可定出 西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案 9 （1） 2X 的分布律为 2X 0 2 3 2 4 6 概率 8 1 4 1 8 1 6 1 3 1 （2） 1 X 的分布律为 1 X -3 -1 1 2 3 3 概率 3 1 6 1 8 1 4 1 8 1 （3） 2X 的分布律为 2X 0 4 1 4 16 概率 8 1 4 1 24 7 3 1 其中       24 7 6 1 8 1 2242  XPXPXP 。 20. 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，求随机变量的函数 XeY  的密度函数  yfY 。 解：  xf X ,0 ,xe 0;x  其他 xey  的反函数     y yhyyh 1 ,ln  ，因此所求的 Y的密度函数为         yhyhfyf XY ln 1 , 0, ye y  , ;0ln 其他 y = ,0 , 1 2y . ;1 其他 y B 1. 有 2500名小学生独立参加了保险公司举办的平安保险，每个参加保险的小学生一年 交付保险费 12 元，若在一年内出现意外伤害事故，保险公司一次性赔付 10000 元，设在一 年内每名小学生出事故的概率为 0.002，求：（1）保险公司亏本的概率；（2）保险公司获利 不少于 10000元的概率。 西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案 10 解：设 { }A 公司出现亏本 ， { 10000 }B  公司获利不少于 元 ， X 为一年内出现意外 事故的学生人数，则 (2500,0.002)X B 。 （1）若一年内有 X 名学生出事故，则保险公司应赔付10000X 元，则该事件发生的概率 为： 2500 3 4 0 3 3 2500 5 5 2500 0 0 ( ) {10000 2500 12} { 3} ( ) 1 ( ) 5 236 1 (0.002) (0.998) 1 1 0.73 ! 6 k k k k k k k k P A P X P X P X k P X k C e e k                             ， （2）保险公司获利不少于 10000元的概率为： 2 2 5 5 0 0 5 ( ) {30000 10000 10000} { 2} ( ) 18.5 0.12 ! k k k P B P X P X P X k e e k                。 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 2 0, 0 ( ) ,0 1 1, 1 x F x Ax x x        ，试求：（1）系数 A；（2） X 落在 1 ( 1, ) 2  及 1 ( , 2) 3 内的概率；（3） X 的概率密度。 解：（1）由 ( )F x 的连续性，有 1 lim ( ) (1) x F x F   ，即 2 1 lim 1 x Ax   ，得 1A  ，于是： 2 0 , 0 ( ) , 0 1 1 , 1 x F x x x x        ； （2） 2 1 1 1 1 { 1 } ( ) ( 1) ( ) 0 2 2 2 4 P X F F         ， 2 1 1 1 8 { 2 } ( 2 ) ( ) 1 ( ) 3 3 3 9 P X F F      ； （3） ' 2 ,0 1 ( ) ( ) 0, x x f x F x       其他 。 3. 设随机变量 X 的概率密度为 2 , 0 1 1 ( ) , 1 2 0, bx x f x x x          其他 ，试确定常数b ，并求其分布 函数。 解： 1 2 20 1 1 1 1 ( ) 0 1 2 2 b f x dx bxdx dx b x             ； 当 0x  时， ( ) ( ) 0 x F x f t dt    ； 当0 1x  时， 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 x x x F x f t dt f t dt tdt         ； 西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案 11 当1 2x  时， 0 1 20 1 1 3 1 ( ) ( ) ( ) 2 x x F x f t dt f t dt tdt dt t x           ； 当 2x  时， ( ) 1F x  ； X 的分布函数为 2 0, 0 , 0 1 2( ) 3 1 , 1 2 2 1, 2 x x x F x x x x                。 4. 设随机变量 X 的分布函数为   0 1 ln 1 1 x F x A x x e x e        ，试求：（1）常数 A；（2）  2P X  ，  P X e 。 解：（1）根据分布函数的右连续性可知： 0 lim ( ) 1 ( ) ln 1 x e F x F e A e A A         ； （2） {| | 2} { 2 2} (2) ( 2) ln 2 0 ln 2P X P X F F           ； { } 0P X e  。 5. 随机变量 X 的概率密度函数为 2 ,| | 1 ( ) 1 0, c x f x x       其他 ，求：（1）c的值；（2） X 落在 1 1 ( , ) 2 2  内的概率。 解：（1） 1 1 021 1 ( ) 2 arcsin 2 21 c f x dx dx c x c c x              ，得 1 c   ； （2） 1 1 2 2 1 02 2 1 1 1 2 2 1 { } arcsin 2 2 6 31 dx P X x x              。 6. 随机变量 X 的概率密度函数为 cos ,|x| 2, ( ) 0, A x f x     其他, 求：（1） A的值；（2） ( )F x ；（3） {0 4}P X   。 西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案 12 解：（1）由 2 2 2 0 1 cos 2 cos 2A xdx A xdx A        ，得 1 2A  。 （2）当 2x   时， ( ) 0F x  ；当 2x  时， ( ) 1F x  ； 当 2 2x    时， 2 1 1 1 ( ) cos sin 2 2 2 x F x xdx x     ；所以 0, x< 2, ( ) 1 2 sin 2, 2 x< 2, 1, 2. f x x x             （3） {0 4} ( 4) (0) 2 4P X F F      。 7. 公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在 0.01 以下 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的，设男子身高（单 位：cm） (170,36)X N ，求应如何选择车门的高度。 解：设男子身高为 X ，选择的车门高度 x应满足： { } 0.01P X x  ，且 (170,36)X N ， 所以 170 170 { } { } 0.01 6 6 X x P X x P       170 ( ) 0.99 6 x    ， 170 2.33 6 x   1 8 3 . 9 8x  ，故选择的车门高度应为 183.98cm，即可取 1.84 米。 C 1. 设随机变量 X 的分布函数 ( )F x 连续，且严格单调增加，求 ( )Y F X 的概率密度。 解：设Y 的分布函数为 ( )YF y ，则 1 1( ) { } { ( ) } { ( )} [ ( )]YF y P Y y P F X y P X F y F F y y          ， 当 0y  时， ( ) 0YF y  ，当 1y  时， ( ) 1YF y  ，故 0 , 0 ( ) , 0 1 1 , 1 Y y F y y y y        �� �� �� ，于是Y 的概率密度为 1, 0 1 ( ) 0, Y y f y      其他 �� �� 。 2. 对圆片直径进行测量，其值在[5, 6]上均匀分布，试求圆片面积的概率分布。 解：直径D的分布密度为 1,5 6 ( ) 0, d d      其他 ，假设 2 4 D X   ， X 分布函数为 ( )F x 西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案 13 2 ( ) { } { } 4 D F x P X x P x      ，当 0x  时， ( ) 0F x  ；当 0x  时 2 4 4 ( ) { } { } { } 4 D x x F x P X x P x P x            ；当 4 5 x   时，即 25 4 x   时， ( ) 0F x  ； 当 45 6 x    时， 即 25 9x     时， 2 4 4 ( ) { } { } { } 4 D x x F x P X x P x P x             4 5 4 1 5 x x dt    ；当 9x  时， 6 5 ( ) ( ) 1 x F x t dt dt      ；所以 0, < 25 4 ( ) 4 5,25 4 9 1, 9 x F x x x x              ，密度函数为 ' 1 25 , 9 4( ) ( ) 0, x x F x x             其他 。 3. 电源电压在不超过200 V、200 240 V 和超过240 V 三种情况下，元件损坏的概 率分别为 0.1，0.001 和 0.2。设电源电压服从正态分布， 2(220,25 )X N ，求：（1）元件 损坏的概率 ；（2）元件损坏时，电压在200 240 V 间的概率 。 解：（1） 220 200 220 { 200} { } ( 0.8) 1 (0.8) 0.2118 25 25 X P X P           ， 2 0 0 2 2 0 2 2 0 2 4 0 2 2 0 { 2 0 0 2 4 0 } { } 2 ( 0 . 8 ) 1 0 . 5 7 6 4 2 5 2 5 2 5 X P X P             ， 2 2 0 2 4 0 2 2 0 { 2 4 0 } 1 { 2 4 0 } 1 { } 1 ( 0 . 8 ) 0 . 2 1 1 8 2 5 2 5 X P X P X P             ， 由全概率公式知，元件损坏的概率为 0 . 1 0 . 2 1 1 8 0 . 0 0 1 0 . 5 7 6 4 0 . 2 0 . 2 1 1 8 0 . 0 6 4 1        。 （2）由贝叶斯公式知，元件损坏时，电压在200 240 V的概率为 0 . 5 7 6 4 0 . 0 0 1 0 . 0 6 4 1 0 . 0 0 9 0    。